Пікір берушілер
Сандық теңдіктер мен теңсіздіктер
жүктеу/скачать 5,73 Mb.
|
Матанализдің кейбір есептерін теңсіздіктерді пайдаланып шешу
| Сандық теңдіктер мен теңсіздіктер
Салыстыру, екі нақты санның теңдігі, біреуінің екіншісінен үлкен болуының анықтамалары бар, сол анықтамалардың бәрін нақты сандарды атап айтқанда, мен нақты сандары, олардың айырымы нольге тең болған және тек сонда ғана бір – біріне тең, яғни айырымын оң болғанда және тек сонда ғана саны санынан үлкен болады, яғни . Егер екі сан теңдік белгісімен жалғасып жазылса, онда сандық теңдік берілген дейді. Бірақ та ол теңдік дұрыс та, дұрыс емес те болуы мүмкін. Мысалы, дұрыс, ал теңдіктері дұрыс емес. Сондай – ақ екі сан кез келген теңсіздік белгісімен жалғасып жазылған болса, онда дұрыс та, дұрыс емес те болатын сандық теңсіздік берілген деп атайды. Мысалы, - дұрыс, - дұрыс емес теңсіздіктер. Көбінесе теңсіздіктердің дұрыс немесе дұрыс емес екенін бірден айту қиын. Мұндай жағдайларда сандық теңдіктер мен теңсіздіктерді дәлелдеу керек. Сонда теңдіктер мен теңсіздіктердің төменде келтірілген негізгі қасиеттері үлкен роль атқарады. . Егер және сандары үшін теңдіктері орындалса, онда болады (теңдіктердің транзитивтік қасиеті). . Егер сандары үшін теңдіктері орындалса, онда болады. . Егер сандары үшін теңдіктері орындалса, онда болады. . Кез келген нақты сандары үшін теңдігі мен теңдігі пара – пар, яғни теңдігінің дұрыстығынан теңдігінің дұрыстығы шығады, яғни . Кез келген нақты сандары үшін және кез келген нольден ерекше саны үшін, мен теңдіктері пара – пар, яғни егер болса, онда Сандық теңсіздіктер үшін осы тәрізді қасиеттерді келтірейік. . Егер және сандары үшін және болса, онда (теңдіктердің транзитивтік қасиеті). Дәлелдеуі. . болғандықтан, болғандықтан, , ал екі оң санның қосындысы да оң болғандықтан, , яғни . . Егер сандары үшін теңдіктері болса, онда . Дәлелдеуі. . болғандықтан, - оң сан, болғандықтан, - оң сан; екі оң санның қосындысы да оң, сондықтан , яғни . . Егер сандары үшін және болса, онда . Дәлелдеуі. . болғандықтан, - оң сан; болғандықтан, - оң сан; екі оң санның қосындысы да оң сан, сондықтан, , яғни, . . Егер сандары үшін болса, онда . Дәлелдеуі. . болғандықтан, - оң сан болатындықтан, - оң сан болады; сол сияқты - оң сан екенін дәлелдей аламыз; екі оң санның қосындысы да оң, сондықтан, , яғни . . Кез келген нақты сандар және үшін және теңсіздіктері пара – пар, яғни теңдігінің дұрыстығынан теңсіздігінің дұрыстығы алынады және керісінше теңсіздігінің дұрыстығынан теңсіздігінің дұрыстығы келіп шығады, яғни . Дәлелдеуі. болсын, сонда , яғни . болсын, сонда , яғни . . Кез келген мен нақты сандары үшін және кез келген оң саны үшін мен теңсіздіктері пара – пар, яғни, егер болса, онда . Дәлелдеуі. болсын, онда . Егер екі санның көбейтіндісі оң болса және олардың біреуі оң сан болса, онда екіншісі де оң болады, яғни болғандықтан , яғни . . Кез келген мен нақты сандары үшін және кез келген теріс саны үшін мен теңсіздіктері пара – пар, яғни, егер болса, . Бұл фактіні дәлелдеу қасиетті дәлелдеуге ұқсас. Сөйтіп, теңдіктер мен теңсіздіктердің мынадай қасиеттерін келтіреміз. 1. ; 1.; 2. ; 2. а) ; ә) ; 3. ; 3. ; 4. ; 4. ; 5. 5. а) ә) . Жоғарыда теңдік және қатаң теңсіздіктер таңбалары қолданылады. Кейде бұл таңбалар жетпейді. Қатаң емес теңсіздіктер қажет болатын есептер де кезеседі. Мысал. Бүгін Москвада , ал Ленинградтағы температура одан жоғары емес. Егер Ленинградтағы температураны әріпімен белгілесек, онда не , не . Бұл жағдайда деп жазады. Қатаң емес және теңсіздіктері анықтамаларын келтірейік. Сандық теңсіздігі болғанда да, болғанда да дұрыс, ал жағдайында дұрыс емес. Мысалы, және теңсіздіктерінің екеуі де дұрыс, ал теңсіздігі дұрыс емес ( жазылуы не « дан үлкен емес», не «дан кіші не тең» деп оқылады). Қатаң емес теңсіздіктер үшін қасиеттер орынды, тек олардағы қатаң теңсіздік таңбаларын қатаң емес теңсіздік таңбалары ауыстырылады. Егер бір мезгілде екі теңсіздік мен дұрыс болса, онда қос теңсіздігі дұрыс; Егер бір мезгілде екі теңсіздік мен дұрыс болса, онда қос теңсіздігі дұрыс; Егер бір мезгілде екі теңсіздік мен дұрыс болса, онда қос теңсіздігі дұрыс; Егер бір мезгілде екі теңсіздік мен дұрыс болса, онда қос теңсіздігі дұрыс болады деп айтамыз. жүктеу/скачать 5,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|