Практикум по алгебре
жүктеу/скачать 0,63 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Задание 8
| Задание
7 А . Составить таблицу Кэли для группы G : 1. G — группа движений правильного треугольника . 2. G — группа подстановок трех элементов . 3. G — группа функций f i : R * \{1} → R * \{1}, i= 1, ..., 6: f 1 ( x ) =x , f 2 ( x ) = x 1 , f 3 ( x ) = 1– x , f 4 ( x ) = 1 − x x , f 5 ( x ) = x x 1 − , f 6 ( x ) = x − 1 1 , относительно композиции функций . 4. G — группа движений правильного тетраэдра с вершиной А , оставляющих неподвижной вершину А . 5. G — группа вращений правильного шестиугольника . 6. G — группа движений квадрата . Б . Доказать , что элементы x и y имеют одинаковые порядки : 1. х = abcd , y = bcda . 2. x = abcd , y = dabc . 3. x = abc , y = bca . 4. x = a , y = b –1 ab . 5. x = abc , y = cab . 6. x = ab , y = ba . В . Доказать , что следующее множество является подгруппой в соответствую - щей группе : 1. Множество нижних треугольных матриц в группе всех невырожденных мат - риц порядка n . 2. Множество матриц вида − a b b a , где a , b ∈ R , в группе всех невырожденных матриц порядка 2. 3. H = { x : x=a + b 3 , a,b ∈ Q , a 2 –2 ab = 1} в группе 〈 R * , ⋅〉 . 4. Множество верхних треугольных матриц в группе всех невырожденных матриц порядка n . 5. H= { π : π (1) = 1} в группе подстановок n элементов S n . 76 6. Множество квадратных матриц порядка n , в каждой строке и каждом столбце которых один элемент равен 1, а остальные элементы равны 0. Г . Доказать неизоморфность групп : 1. 〈 R * , ⋅〉 и 〈 R , + 〉 . 2. 〈 R * + , ⋅〉 и 〈 R * , ⋅〉 . 3. 〈 Z , + 〉 и 〈 Q , + 〉 . 4. 〈 Q * , ⋅〉 и 〈 Q , + 〉 . 5. 〈 R * , ⋅〉 и 〈 Q * , ⋅〉 . 6. 〈 Z , + 〉 и 〈 R * + , ⋅〉 . Д . Пользуясь теоремой Кэли , выяснить , задает ли таблица Кэли группу на дан - ном множестве : 1. • а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 4. • а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 1 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 1 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 2 а 2 а 1 а 4 а 3 а 6 а 5 а 2 а 2 а 1 а 4 а 5 а 3 а 3 а 3 а 5 а 1 а 6 а 2 а 4 а 3 а 3 а 5 а 1 а 2 а 4 а 4 а 4 а 6 а 2 а 5 а 1 а 3 а 4 а 4 а 3 а 5 а 1 а 2 а 5 а 5 а 3 а 6 а 1 а 4 а 2 а 5 а 5 а 4 а 2 а 3 а 1 а 6 а 6 а 4 а 5 а 2 а 3 а 1 2. • а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 5. • а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 1 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 1 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 2 а 2 а 3 а 4 а 3 а 6 а 1 а 2 а 2 а 1 а 5 а 3 а 4 а 3 а 3 а 4 а 5 а 6 а 1 а 2 а 3 а 3 а 4 а 1 а 5 а 2 а 4 а 4 а 5 а 6 а 1 а 2 а 3 а 4 а 4 а 5 а 2 а 1 а 3 а 5 а 5 а 6 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 5 а 3 а 4 а 2 а 1 а 6 а 6 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 3. • а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 6. • а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 1 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 1 а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 2 а 2 а 1 а 5 а 6 а 4 а 3 а 2 а 2 а 4 а 1 а 5 а 3 а 3 а 3 а 6 а 1 а 5 а 2 а 4 а 3 а 3 а 1 а 5 а 2 а 4 а 4 а 4 а 3 а 2 а 1 а 6 а 5 а 4 а 4 а 5 а 2 а 3 а 1 а 5 а 5 а 4 а 6 а 3 а 1 а 2 а 5 а 5 а 3 а 4 а 1 а 2 а 6 а 6 а 5 а 4 а 2 а 3 а 1 85 Задание 8 1. Доказать , что объединение двух подгрупп группы является подгруппой этой же группы тогда и только тогда , когда одна из этих подгрупп содержится в другой подгруппе . 2. Доказать , что конечная подполугруппа любой группы является подгруппой этой группы . Остается ли верным это утверждение для бесконечных подпо - лугрупп ? 3. Существуют ли бесконечные группы , все элементы которых имеют конечный порядок ? 4. Доказать , что если подгруппа С содержится в объединении подгрупп А и В , то либо С ⊂ А , либо С ⊂ В . 5. Доказать , что если коммутативная группа G содержит элементы бесконечно - го порядка и все они содержатся в подгруппе H , то H = G . 6. Представить группу Q в виде возрастающей цепочки циклических подгрупп . Задание 9 1. а ) Пусть ϕ : G → G 1 — эпиморфизм групп , H < G . Доказать , что ϕ ( H ) < G 1 . б ) Может ли группа иметь две изоморфных нормальных подгруппы , фактор - группы по которым не изоморфны ? 2. а ) Пусть ϕ : G → G 1 — гомоморфизм групп , H 1 < G 1 . Доказать , что ϕ –1 ( H 1 ) < G . б ) Пусть Z G = { x : ( ∀ a ∈ G )( ax=xa )}. Доказать , что Z G < G . Доказать , что если G некоммутативная группа , то G / Z G не циклическая группа . 3. а ) Пусть ϕ : G → G 1 — гомоморфизм групп , H < G . Доказать , что ϕ ( H ) < G 1 . б ) Пусть ϕ : G → G 1 — эпиморфизм групп . Доказать , что G 1 коммутативна то - гда и только тогда , когда ( ∀ а )( ∀ b )( a –1 b –1 ab ∈ Ker ϕ ). 4. а ) Пусть ϕ : G → G 1 — эпиморфизм групп , H 1 < G 1 . Доказать , что ϕ –1 ( H 1 ) < G . б ) Может ли группа иметь не изоморфные нормальные подгруппы , фактор - группы по которым изоморфны ? 5. а ) Пусть H < G , T < G . Доказать , что HT < G и H < HT . б ) Могут ли две не изоморфные группы иметь изоморфные нормальные под - группы , фактор - группы по которым изоморфны ? 6. а ) Пусть H < G , T < G , Доказать , что H ∩ T < T . б ) Доказать , что если H 1 < G 1 , H 2 < G 2 , то H 1 × H 2 < G 1 × G 2 . жүктеу/скачать 0,63 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|