Прикладная математика численные методы
жүктеу/скачать 1,04 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.3. Формула трапеций
2.2. Формула прямоугольниковНа частичном отрезке [xi-1, xi] заменим подынтегральную функцию полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. Естественно в качестве этой точки выбрать среднюю: xi-0.5 = xi - 0.5h. Тогда получим формулу . (2.6) Подставив (2.6) в (2.5), получим составную формулу средних прямоугольников: . (2.7) Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис. 2.1. Рис. 2.1. Интегрирование методом средних прямоугольников Погрешность формулы (2.7) определяется выражением (2.8) Здесь . Таким образом, погрешность формулы (2.7) пропорциональна O(h2). Замечание. Формулу (2.7) можно представить в ином виде: . (2.9) Эти формулы в выражении (2.9) называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников представлен на рис. 2.2.
а) б) Рис. 2.2. Метод левых (а) и правых (б) прямоугольников Однако из-за нарушения симметрии в формулах (2.9) их погрешность значительно больше, чем в методе средних прямоугольников и ~O(h). 2.3. Формула трапецийЕсли на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени, то есть , (2.10) тогда искомый интеграл запишется следующим образом: (2.11) После подстановки выражения (2.11) в (2.5) составная формула трапеций примет вид (2.12) Графически метод трапеций представлен на рис. 2.3. Рис. 2.3. Метод трапеций Погрешность формулы (2.12) определяется выражением: (2.13) Таким образом, погрешность метода трапеций Ψ ~ O(h²), но она в два раза больше, чем для формулы средних прямоугольников. жүктеу/скачать 1,04 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|