Вопросы для самопроверки
Сформулируйте задачу численного интегрирования.
Метод средних, левых и правых прямоугольников. Что можно сказать об их погрешности, трудоемкости?
Задача численного интегрирования решена методом трапеций. Предложите и обоснуйте пути повышения точности (уменьшения погрешности) расчетов.
Сравните метод трапеций и метод Симпсона.
Какие методы Монте–Карло численного интегрирования вы знаете? Сравните эти методы с любым детерминированным.
Необходимо вычислить интеграл методами трапеций, Симпсона и ММК, разбив область интегрирования на 77 интервалов (точек). Что можно сказать о точности и применимости этих методов?
Численное решение систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)
3.1. Решение задач линейной алгебры
Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Так, основными источниками возникновения СЛАУ являются теория электрических цепей, уравнения балансов и сохранения в механике, гидравлике и т.п.
Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(3.1)
Или в матричной форме:
; (3.2)
где
(3.3)
- матрица коэффициентов системы (3.1);
- вектор неизвестных; - вектор свободных членов.
Если матрица A неособенная, т.е.
(3.4)
то система (3.1) или эквивалентное ей матричное уравнение (3.2) имеют единственное решение. Действительно, при условии, что detA 0, существует обратная матрица A-1. Умножая обе части уравнения (3.2) слева на A-1, получим:
(3.5)
Формула (3.5) даёт решение уравнения (3.2), причём единственное.
Пример 3.1.
Для матрицы A порядка n > 4 непосредственное нахождение обратной матрицы A-1 требует много времени (операций). Поэтому формула (3.5) на практике употребляется достаточно редко.
Обычно значения неизвестных xi (i = 1,2, ... n) могут быть получены по известным формулам Крамера:
(3.6)
Здесь матрица Ai получается из матрицы A заменой её i-го столбца столбцом свободных членов.
Пример 3.2. Решим вышеприведенную систему по формулам Крамера:
Применяемые в настоящее время методы решения СЛАУ можно разбить на две группы: точные и приближённые.
Достарыңызбен бөлісу: |
