3.3. Схема Гаусса с выбором главного элемента
Рассмотрим СЛАУ
(3.17)
Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы (3.17):
. (3.18)
Среди элементов матрицы aij (i,j = 1, ...n) выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет, например, элемент apq. Строка, содержащая главный элемент, называется главной строкой.
Далее вычисляем множители mi = aiq / apq для всех i p.Затем преобразуем матрицу (3.18) следующим образом: из каждой i-ой неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную на mi. В результате получим матрицу, у которой все элементы q-го столбца за исключением apq, равны 0. Отбрасывая этот столбец и главную строку, получим новую матрицу M1 с числом строк и столбцов на 1 меньше.
Над матрицей М1 повторяем те же операции, после чего получим матрицу M2 и т.д. Таким образом продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку из двух элементов, которую тоже считаем главной.
Затем объединим все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдём последовательно значения неизвестных xi (i = 1, 2, ..., n). На этом заканчивается обратный ход.
Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать возможно меньшими числа mi и тем самым уменьшить погрешность вычислений.
Пример 3.4. Рассмотрим СЛАУ, состоящую из трех уравнений. Запишем расширенную матрицу
m2 = -1/6; m3 = -2/3.
m2 = -5/16.
M2 = [ 87/96 174/32].
x3 = 6; x1 = 3; x2 = -2.
Достарыңызбен бөлісу: |
