Прикладная математика численные методы



бет9/34
Дата06.03.2023
өлшемі1,04 Mb.
#71977
түріУчебное пособие
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   34
Байланысты:
Кацман Ю.А. - Прикладная математика. Численные методы (2000) (1) (1)

Вопросы для самопроверки



  • Сформулируйте задачу численного интегрирования.

  • Метод средних, левых и правых прямоугольников. Что можно сказать об их погрешности, трудоемкости?

  • Задача численного интегрирования решена методом трапеций. Предложите и обоснуйте пути повышения точности (уменьшения погрешности) расчетов.

  • Сравните метод трапеций и метод Симпсона.

  • Какие методы Монте–Карло численного интегрирования вы знаете? Сравните эти методы с любым детерминированным.

  • Необходимо вычислить интеграл методами трапеций, Симпсона и ММК, разбив область интегрирования на 77 интервалов (точек). Что можно сказать о точности и применимости этих методов?
  1. Численное решение систем линейных
    алгебраических уравнений (СЛАУ)




3.1. Решение задач линейной алгебры


Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Так, основными источниками возникновения СЛАУ являются теория электрических цепей, уравнения балансов и сохранения в механике, гидравлике и т.п.


Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(3.1)

Или в матричной форме:




; (3.2)
где
(3.3)

- матрица коэффициентов системы (3.1);




- вектор неизвестных; - вектор свободных членов.

Если матрица A неособенная, т.е.




(3.4)
то система (3.1) или эквивалентное ей матричное уравнение (3.2) имеют единственное решение. Действительно, при условии, что detA  0, существует обратная матрица A-1. Умножая обе части уравнения (3.2) слева на A-1, получим:
(3.5)

Формула (3.5) даёт решение уравнения (3.2), причём единственное.




Пример 3.1.







Для матрицы A порядка n > 4 непосредственное нахождение обратной матрицы A-1 требует много времени (операций). Поэтому формула (3.5) на практике употребляется достаточно редко.


Обычно значения неизвестных xi (i = 1,2, ... n) могут быть получены по известным формулам Крамера:


(3.6)

Здесь матрица Ai получается из матрицы A заменой её i-го столбца столбцом свободных членов.




Пример 3.2. Решим вышеприведенную систему по формулам Крамера:









Применяемые в настоящее время методы решения СЛАУ можно разбить на две группы: точные и приближённые.




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   34




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет