Метод Ньютона (метод касательных)

4.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень ξ уравнения

отделен на отрезке [a, b], причем первая и вторая производные f(x) и f(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь n-ое приближение корня , мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Пусть

ξ = x_n + h_n, (4.14)

где h_n - величина малая. Отсюда по формуле Тейлора получим (ограничиваясь первым порядком малости относительно h_n)

Следовательно,

Подставив полученное выражение в формулу (4.14), найдем следующее (по порядку) значение корня:

Проиллюстрируем графически нахождение корня методом Ньютона (рис. 4.3.).

Если в качестве начального приближения выбрать точку х₀ = В₀ , то процесс быстро сходится. Если же выбрать точку х₀ = А₀, то х₁ [a, b], и процесс нахождения корня расходится. Рекомендуется: в качестве х₀ выбрать точку, где f(x)·f(x) > 0.

4.6. Комбинированный метод

Пусть f(a)·f(b) < 0, а f(x) и f(x) сохраняют постоянные знаки на отрезке [a¸ b]. Соединяя метод хорд и метод касательных, получаем метод, на каждом шаге которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня ξ уравнения f(x) = 0. Теоретически здесь возможны четыре случая:

• 
  f(x) > 0; f(x) > 0;
  
• 
  f(x) > 0; f(x) < 0;
  
• 
  f(x) < 0; f(x) > 0;
  
• 
  f(x) < 0; f(x) < 0.
  

Рассмотрим только первый случай, так как остальные три ведут себя аналогично и могут быть сведены к первому.

Итак, пусть f(x) > 0 и f(x) > 0 при . Полагаем, что (для метода хорд), (для метода касательных). Тогда новые значения корня вычисляем по формулам
(4.18)

Рис. 4.4 наглядно иллюстрирует суть комбинированного метода.

жүктеу/скачать 1,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: