Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной степени точности.
4.2. Графическое решение уравнений
Действительные корни уравнения f(x) = 0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции y = f(x) с осью ОХ (см. рис. 4.1, а). На практике часто бывает удобнее уравнение (4.1) заменить равносильным ему уравнением
, (4.2)
где функции φ(x) и ψ(x) более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики этих функций, искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков (смотри рис. 4.1, б).
а) б)
Рис. 4.1. Графический метод нахождения корней уравнения.
4.3. Метод половинного деления (дихотомии)
Сформулируем без доказательства очень важную для рассмотрения дальнейших вопросов теорему.
Теорема: Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [α, β], то есть f(α)·f(β) < 0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0, а именно: найдётся хотя бы одно число такое, что f(ξ) = 0.
Пусть дано уравнение
f(x) = 0, (4.3)
где функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, b] и f(a)·f(b) < 0. Для нахождения корня уравнения делим отрезок [a, b] пополам:
если f((a + b)/2) = 0, то ξ = (a + b)/2 является корнем уравнения (4.3);
если , то выбираем ту половину отрезка [a, (a + b)/2] или [(a + b)/2, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a1, b1] снова делим пополам и проводим тот же анализ и т.д.
Очевидно, что закончить уточнение значения корня можно при достижении условия |аj – bj| < ε , где ε > 0 - сколь угодно малое число. Второй способ закончить вычисления - задать максимальное значение невязки:
f((aj + bj)/2) < ε.
Замечания
Метод половинного деления очень прост, здесь нет вычислительной формулы и можно обеспечить практически любую точность.
Как недостаток метода можно отметить его медленную сходимость (за один шаг интервал, где находится корень, сужается всего в два раза).
Достарыңызбен бөлісу: |
