Рис. 4.4. Уточнение корня комбинированным методом
Доказано, что . Следует обратить внимание на то, что на каждом шаге метод хорд применяется к новому отрезку . Если задать максимальное значение погрешности ε > 0, процесс уточнения значения корня продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие
. (4.19)
Пример 4.1. Вычислить с точностью до 0.0005 положительный корень уравнения
f(x) = x5 – x – 0.2 = 0.
На первом этапе отделения корней выбрали интервал [1.0, 1.1], на концах которого функция имеет противоположные знаки. Действительно,
f(1) = – 0.2 < 0, f(1.1) = 0.31051 > 0. В выбранном нами интервале f(x) > 0, f(x) > 0, то есть знаки производных сохраняются.
Применим комбинированный метод, приняв . По формулам (4.18) вычислим
.
Так как точность недостаточная (погрешность велика), вычислим следующие значения:
Таким образом, за два шага мы обеспечили требуемую точность.
Замечания
Комбинированный метод наиболее трудоемок.
Метод, как и метод Ньютона не всегда сходится (почему?).
Комбинированный метод сходится быстрее всех ранее рассмотренных, (если он сходится).
Вопросы для самопроверки
Какие точные методы решения нелинейных уравнений вы знаете?
Для чего нужен первый этап - отделение корней?
Сформулируйте условия существования решения уравнения. Являются ли эти требования необходимыми и достаточными?
Что можно сказать о точности методов половинного деления, хорд, касательных и комбинированного? По каким параметрам их еще можно сравнить?
В соответствии с известной теоремой на отрезке [a, b] существует решение. Всегда ли его можно найти методом половинного деления, методом хорд, и т.п.?
Достарыңызбен бөлісу: |