Прикладная математика численные методы
жүктеу/скачать 1,04 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 5.2. Метод градиента (метод скорейшего спуска)
| Пример 5.1. Рассмотрим применение метода Ньютона на примере системы двух нелинейных уравнений
(5.12) Прежде чем разбирать конкретные шаги по решению системы (5.12), распишем в общем виде якобиан для системы из двух уравнений Здесь A, B, C, D – функционалы от переменных x1, x2. Нас фактически интересует W-1. Пусть матрица W- неособенная, тогда обратная матрица вычисляется Теперь вернемся к системе (5.12). Графическое решение этой системы дает две точки пересечения: М1 (1.4; -1.5) и М2 (3.4; 2.2). Зададим начальное приближение: Используя формулу (5.11), получим: Аналогично получим: 5.2. Метод градиента (метод скорейшего спуска)Пусть имеется система нелинейных уравнений: (5.13) Систему (5.13) удобнее записать в матричном виде: (5.14) где - вектор – функция; - вектор – аргумент. Решение системы (5.14), как и для системы линейных уравнений (см. п. 3.8), будем искать в виде (5.15) Здесь и - векторы неизвестных на p и p+1 шагах итераций; вектор невязок на p-ом шаге – f(p) = f(x(p)); W'p – транспонированная матрица Якоби на p – ом шаге; ; . Пример 5.2. Методом градиента вычислим приближенно корни системы расположенные в окрестности начала координат. Имеем:
Выберем начальное приближение: По вышеприведенным формулам найдем первое приближение: Аналогичным образом находим следующее приближение: Ограничимся двумя итерациями (шагами), и оценим невязку: Замечания Как видно из примера, решение достаточно быстро сходится, невязка быстро убывает. При решении системы нелинейных уравнений методом градиента матрицу Якоби необходимо пересчитывать на каждом шаге (итерации). жүктеу/скачать 1,04 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|