Мысалы 10. Есептеу керек:   ln 2 z 0 z e d z  .  Шешуі

18 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 





1

1 cos(

2k ) i sin(

2k )

 

 

 

 





2k

2k

1 cos

i sin

,

2

2

 



 



















k

0, 1.



Егер 

 

i

1

,

0

k











2k

2k

1

1 cos k

i sin 2k

1 cos

i sin

,

k

0, 1.

2

2











 

 













 

Егер  

k

0,

1 1:





AB

d z

2(i 1).

z







 

 

                          y 

                          

 

 

 

 

 

 

       B                  0                     A     x 

 

                 

 

 

Бір  байланысты  облысқа  арналған  Кошидің  негізгі  теоремасы.  Егер 

f (z)

  функциясы 

бірбайланысты 

D

 облысында аналитикалық болса, онда бұл функцияның 

D

 облысына тиісті бөлшек-

тегіс тұйық контур бойынша интегралы нөлге тең. 

C

  –жәй  (өзімен  қиылыспайтын)  бөлшек-тегіс  тұйық  контур  болсын, 

1

2

n

C , C , ..., C

  –  жәй 

бөлшек-тегіс  өзара  іштей  салынбаған,  бірақ 

C

  контурының  ішінде  орналасқан  тұйық  контурлар 

болсын.  Егер   

f (z)

    функциясы 

C

контуры  мен 

1

2

n

C , C , ..., C

контурларының  арасындағы  көп 

байланысты  облысты және осы контурлардың өзінде аналитикалық болса, онда  

k

n

k 1

C

C

f (z) d z

f (z) d z











. 

(Кошидің көп байланысты облысқа арналған негізгі теоремасы). 

 

Мыалы  12.   

z

1

d z

z



  интегралының  мәнін  интегралдау  жолы  координаталар  басымен  өтпейтін 

жағдай үшін есептеңдер. 

Шешуі. 

Егер 

жол 

координаталар 

басын 

айналып 

өтпейтін 

болса, 

 

онда 

z

z

1

1

d z

ln z

ln z

ln 1 ln z

z











 

 

 

 

 

19 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

                  . 

 

       y 

 

 

 

 

                      z 

 

   0 

 

 

 

 

 

 

1                          

x 

 

 

а) 

 

 

             y 

                z 

      С   

 

       m 

                А      

        0          1      B                 

x 

 

 

б) 

 

 

             y 

                        z 

           С   

 

       m 

                 А      

        0          1      B                 

x 

 

 

в) 

 

 

Суреттер 

 

Интегралдау  жолы  нөлдік  нүктені  бір  рет  оң  бағытпен  айналып  өтетін  болсын  (б-сурет).  Сонда 

(в-сурет) 

z

1

AmB

BC

AmB

BA

AC

dz

d z

d z

d z

d z

d z

z

z

z

z

z

z























 

 

 

 

 

; 

AC

AmB

BA

d z

d z

d z

d z

ln z;

z

z

z

z

















, мұндағы  

1



 – шеңбер:  

z

r 1

 

,  

Облыстың  екі 



    және   

1



  контурларының  арасында 

1 z

    функциясы  аналитикалық 

болғандықтан 

1

d z

d z

z

z











 

 

            y      

 

 

      m         

1



  A   B 

              0       1             x 

         



   

 

                  

                    

 

1

d z

z





 интегралын есептейік. 

1

2

i

i

i

1

i

0

d z

r i e

d

: z

r e , d z

r i e d ;

2 i.

z

r e

























 





 

 

20 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

Сонда   

z

1

d z

d z

ln z

ln z

2 i.

z

z









 





       

Егер  интегралдау  жолы  нөлдік  нүктенің  маңайынан  оң  бағытта 

n

айналым жасаса,  онда 

ln z

  

мәніне 

2n i



 мәні қосылады немесе азайтылады. Осылайша, кез-келген  

z

0



үшін 

z

1

d z

ln z

2n

i

z









. 

Егер 

f (z)

    функциясы  жәй  бөлшек-тегіс 

C

тұйық  контурының  ішінде  және  өзінде 

аналитикалық  болса,  онда  оның  ішінде  жатқан  кез-келген 

0

z

нүктесінде  келесі  формулалар 

орындалады: 

 

0

0

C

1

f (z) d z

f z

2 i

z

z









   (Коши формуласы), 

 





(n )

0

n 1

0

C

n!

f (z) d z

f

z

,

n 1, 2, ...

2 i

z

z













   (Кошидің жалпы формуласы). 

 

Мысалы 13.  

2z

C

e

d z

z

i

 



,  1) 

1

C : z

4



; 2)  

2

C : z i

1

 

 есептеу керек. 

 Шешуі.  1) 

2z

f (z)

e



      функциясы     

z

4



  дөңгелегінде  аналитикалық.                    Коши 

формуласын қолданамыз: 

 

1

2z

2z

2 i

z

i

C

e

d z

2 i e

2 i e

z

i





 

 



 



 

            





2 i cos 2

i sin 2

2 i

 

 

  

. 

 

      

 

      2) 

2z

e

f (z)

z

i



 

    болғандықтан,  ол 

z i

1

 

шеңберінің  ішінде  аналитикалық  функция, 

Коши теоремасы бойынша 

21 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

                    

2

2z

C

e

d z

0

z

i



 



. 

 

 

                          y  

 

 

              0                                  x 

 

             

i



 

 

 

 

                        

                     

 

 

 

Мысалы 14. 

2

z 3

cos z

d z

(z 1) (z

2)









 интегралын есептеу керек.  

Шешуі.  Интеграл  астындағы 

2

cos z

f (z)

(z 1) (z

2)







    функциясы 

z

1

 

    және   

z

2



 

нүктелерінен басқа барлық нүктелерде аналитикалық. 

Сондықтан 

f (z)

  функциясы шекарасы 

z

3



 шеңбер болатын үшбайланысты дөңгелек 

облыста аналитикалық болады: 

z 1

r

 

; 

z

2

r





, мұндағы  

r

0



 – жеткілікті аз шама (суретте).

 

 

Сондықтан, көпбайланысты облысқа арналған Коши теоремасы бойынша 

1

2

z 3

f (z) d z

f (z) d z

f (z) d z.

















 

Тұйық 

1



контуры  бойынша  интегралды  есептеу  үшін      Кошидің  жалпы  формуласын 

қолданамыз, мұнда 

cos z

f (z)

z

2





  осы 

1



контурының ішінде аналитикалық.. 

22 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 





1

1

2

2

z

1

cos z

cos z

cos z

z 2

d z

d z

2 i

z

2

(z 1)

z 1 (z 2)

















 























 

2

z

1

sin z(z

2) cos z

3sin 1 cos 1

2 i

2 i

9

(z

2)













 

 



. 

Интегралды 

2



контуры  бойынша  есептеу  үшін  Коши  формуласын  пайдаланамыз,  мұндағы

2

cos z

f (z)

(z 1)





  функциясы 

2



ішінде аналитикалық:: 





2

2

2

2

2

z 2

cos z

cos z

cos z

cos 2

(z 1)

d z

d z

2 i

2 i

,

z

2

9

(z 1)

z 1 (z

2)











 

 













 

2

z 3

cos z

3sin1 cos1

cos 2

d z

2 i

2 i

.

9

9

(z 1) (z 2)







 

 







 

 

 

8 есеп 

Интегралдарды есепте: 

1.  





AB

z

z d z;

AB





 – кесінді,  

A

2i,

B

4





. 

2.  

AB

z Re z d z;

AB



 – парабола доғасы: 

2

y

x ,

A(0; 0), B(1; 1)



. 

3.  

2

C

z z d z;

C :

y

1 x









  нүктелер арасы  





1; 1



. 

4.  

AB

z Im z d z;

AB



 – парабола бөлігі:  

2

y

2x, A

0, B

2

2i





 

. 

5.  

C

R e z d z;

C



 – сынық сызық  

MNK, M(0; 0), N(2, 0), K(2, 1)

. 

6.  

C

Im z d z;

C



 – сынық сызық  

OMK, O(0; 0), M(1; 1), K(2; 0)

. 

7.  





C

z

2 z d z;

C





 – сынық сызық  

OMK, O(0; 0), M( 1; 1), K( 1; 0)





. 

8.  

2

C

z d z;

C :

y

1 x







  нүктелер арасы   





1; 1



. 

9. 

 

2

2

2

C

z

d z;

C :

x

y

1







,  





1; 1

  және  





2; 3

нүктелер арасы. 

10. 





C

Re z sin Re z d z;

C :

y

x





  





0; 0

  және   





1; 1

 нүктелер арасы. 

11. 

2

C

i Im z d z;

C



:

z

1



шеңберінің IV ширектегі бөлігі 

23 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

12. 

2

C

z Re z d z;

C



: 

1

x

y

2



    түзуінің 





0; 0

    және   





1;

2

 

  нүктелері  арасындағы 

кесінді. 

13. 





2

C

I m z

d z;

C



 :  

2

2

x

y

1

4

9





  эллипс бөлігі  (

A( 2; 0)



  және  

B(0; 3)

) 

14. 





C

z

z d z;

C





:    

x

cos t,

y

sin t,











a

a

    

t

0

2





 

   





; 0

a

 -дан 





0; a

-ға дейінгі 

аралық. 

15. 

 

C

Im z d z;

C



 – циклоида  









x

t

sin t ,

y

1 cos t ,



















a

a

  

0

t

2

  

. 

16. 

C

i Re z d z;

C



 – эллипс:  

x

2 cos t,

y

sin t,











  

t

0

2





 

. 

17. 

C

i z z d z;

C





 : 

2

x

1 y





 , 





0; 1



-ден  





0; 1

-ге дейінгі аралық. 

18. 

C

z Im z d z;

C



 – 

2

y

1 x

 



  , 





1; 0

 -ден   





1; 0

-ге дейінгі аралық. 

19. 





C

2z

7 z d z;

C





: ОМК– сынық сызық :

).

2

;

0

(

),

1

;

1

(

),

0

;

0

(





K

M

O

 

20. 

C

i z d z;

C



 – 

2

x

1 y





  , 





0; 1



  және 





1; 0



нүктелерінің арасы 

21. 

C

Im z d z;

C



 : 

2

y

x



 параболасының  

0

  және  





1 i



  

22. 

C

Re z d z;

C



  :

2

1

y

x

4



параболасының     

0

    және     





2 i



  нүктелері  арасындағы 

бөлігі. 

23. 

C

z d z;

C



 :

z

1,

0

arg z





 

 жарты шеңбер (басы  

z 1



 нүктесінде). 

24. 

C

i Im z d z;

C



 – циклоида  









x

t

sin t ,

y

1 cos t ,



















a

a

    

0

t

2

  

. 

25. 

 

2

C

Im z

d z;

C



: 

2

y

4 x

 

  параболасының   





1;

2

 

  және 





1; 2



нүктелерін 

қосатын бөлігі. 

26. 





2

C

Re z

d z;

C



: 

2

2

x

y

1





 гиперболасының    





1; 0

  және 

24 

Математика және МОӘ / 2014-2015 оқу жылы/Алданов Е.С./5В0109000-математика 

 

      





2; 3

 нүктелерін қосатын бөлігі. 

 

27. 





C

i sin Im z d z;

C



: 

y

x

 

  түзуінің          от  точки   

;

2 2

 















    және   





;

 

 

нүктелерін қосатын кесіндісі. 

28. 





2

C

Re z

d z;

C



:  

x

cos t,

y

sin t,











a

a

  

t

2



   

. 

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: