Реферат тақырыбы: Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер
жүктеу/скачать 337 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Анықтама 5.
| Мысалы-2. Айталық теңдеуі берілсін функция y=eх осы теңдеудің шешімі болады. Себебі
eхlneх –xeх=eхx-xeх0 . Алайда, берілген теңдеудің басқада шешімдері бар. Мысалы, e-х функциясы да осы теңдеудің шешімі болады. е-хlne-х-x(e-х)1=e-х(-x)-xe-х(-1)0 Сондай-ақ есх түріндегі функцияларда (мұнда с-қандайда бір тұрақты) берілген теңдеудің шешімі болатының тексеруге болады. Сонымен дифференциалдық теңдеудің бір шешімі ғана емес, көп шешімі болатынына көзімізді жеткіздік. Бұл факт, тіпті интегралдық есептеу кезінен белгілі болған. Шынында да, (4) қарапайым теңдеуін алсақ, бұл теңдеудің шешімі f(x) функциясының анықталмаған интегралы екені белгілі. Демек, сансыз көп шешімі бар. (4) теңдеудің шешімдерінің жалпы түрін былай жазуға болады. у=(x)+c мұнда (х) (4) теңдеудің қандайда бір шешімі. С-ға мәндер беру арқылы (4) теңдеудің дербес шешімін табуға болады. (3) дифференциалдық теңдеудің шешімдерінің жалпы түрін у=(x,с) формуласы арқылы жазуға болады. Жалпы жағдайда дифференциалдық теңдеулердің шешімдерінің жалпы түрі Ф(х,у,с)=0 формуласы арқылы жазылады. Бұл қатысты (3) теңдеудің жалпы интегралы деп атайды. (3) теңдеудің шешімінің графигін осы теңдеудің интегралдық қисығы деп атайды. Жоғарыда айтылғандай кез келген дифференциалдық теңдеудің шешімдері ақырсыз жиын болатынын айттық. Практикада дифференциалдық теңдеудің белгілі шартты қанағаттандыратындай бір ғана шешімін табу керек болады. (3) теңдеудің (х0)=у0 ( y| ) шартын қанағаттандыратын у=(х) шешімін табуды теңдеуі үшін тұжырымдалған Коши есебі (немесе бастапқы есеп) дейді. y| шартын бастапқы шарт деп атайды. х0,, у0 шамаларын бастапқы берілімдер дейді. функциясы белгілі шарттарды қанағаттандырғанда теңдеуі үшін тұжырымдалған Коши есебінің жалғыз ғана шешімінің бар және жалғыз болатынын дәлелдеуге болады. (5) теңдеуін әрқашан M(x,y)dx+N(x,y)dy (6) түріне келтіруге болады және керісінше. Мысалға (5) теңдеуді (1.12) теңдеуге келтіру үшін оның екі жағын N(x,y)dx көбейтсек болғаны. Сонда (6) түрге келтіреміз. Бұл жағдайда M(x,y)=-f(x,y)N(x,y). Анықтама 5. Мына түрдегі (1.11/) және M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy=0 (7) теңдеулерді айнымалысы ажыратылатын теңдеу деп атаймыз. (7) теңдеуіне тән қасиет dx пен dy шамаларының коэффицеттері екі функцияның көбейтіндісінен тұрады. Олардың әрқайсысы бір ғана айнымалыға тәуелді болады. Егер болса, онда (7) теңдеуді түріне келтіреміз. Соңғы теңдеуді мына түрде жазуға болады: Осыдан Мұнда C еркін тұрақты. Алынған теңдеудің сол жағын F(x,y) белгілесек F(x,y)=C теңдігін аламыз. Ол берілген теңдеудің жалпы интегралы болып табылатыны белгілі. Ал егер , онда y=y0 функциясы (7) теңдеуінің шешімі болады. Өйткені (7) теңдеуінің dy=dy0=0 болғандықтан екінші қосылғышы да нольге айналады. Сондай-ақ N1,(x0)=0, онда x=x0 де (7) теңдеуінің шешімі болады. Дәлелдеу жоғарғыдай. Бұл шешімдер дербес немесе ерекше шешімде бола алады. Егер көрсетілген шешімдер параметр C–ның белгілі бір мәндерінде жалпы шешімінен алынса, онда олар дербес шешімдер болады, ал қарама-қарсы жағдайда ерекше шешімге жатады. жүктеу/скачать 337 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|