Мысал-3.. . Бұл теңдеудің айнымалысы ажыратылған. Сондықтан интегралдау арқылы аламыз. Осыдан немесе , , мұнда немесе .
Мысал-4. Теңдеудің дербес шешімдерін тап немесе Коши есебін шеш.
Алдымен жалпы шешімді іздейміз
Берілген теңдеу айнымалысы ажыратылатын теңдеу. Онда интегралдасақ .
Потенциалдағаннан кейін , немесе болады. Сонымен жалпы шешім табылды. Жалпы шешімнен дербес шешімді бөліп алу үшін , деп алып, демек ,e=ecc=1 Cонда іздеп отырған дербес шешім функциясы болады.
теңдеуі айнымалысы ажыратылатын теңдеуге келтіріледі. Ол үшін ax+by+c=z деп аламыз. . ax+by+c және ауыстыру арқылы теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу-айнымалысы ажыратылатын теңдеу. Оны интегралдау арқылы Ф(х,z,c1)=0 теңдігіне келеміз. Енді z–ті ax+by+c өрнегімен ауыстырып Ф(х,ах+ву+с,c1)=0 немесе F(x,y,c1)=0 жалпы шешімі (жалпы интегралы) табылады.
Екінші ретті біртектес сызықтық дифференциалдық теңдеу Төмендегі екінші ретті біртектес сызықтық дифференциалдық теңдеуді қарастырайық:
.
(6.13)
Бұл теңдеудің кейбір қасиеттерін келтірейік.
Теорема 2. егер және функциялары (6.13) теңдеуінің дербес шешімдері болса, онда
(6.14)
теңдеуі де (6.13) теңдеудің шешімі болады, мұндағы және тұрақтылар.
Бұл сұраққа жауап беру үшін функциялардың сызықты тәуелділігі және сызықты тәуелсіздігі деген ұғымға енгіземіз. және функциялары интервалында сызықты тәуелсіз деп аталады, егер келесі теңдік орындалса
,
(6.15)
Бұл теңдік болған жағдайда ғана орындалады, мұндағы .
Егер және - нің ең болмағанда біреуі нөлге тең болмаса, онда (6.15) теңдігі орындалады, демек және функциялары (a; b) интервалында сызықты тәуелді болады.
Функциялар жүйесінің сызықты тәуелділігін зерттейтін құралды Вронский анықтауышы немесе Вронскиан деп аталады.
және дифференциалданатын функциялары үшін вронскиян төмендегідей түрде болады:
