Численные решения тестовых примеров

105
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
1
,..,
2
,1
,
)
(
−
=
N
k
h
k
λ
, матрицы 
A
. Известно, что собственные значения матрицы 
A
 имеют вид
1
,...
2
,
1
,
2
sin
4
2
2
)
(
−
=
=
N
k
N
k
h
h
k
π
λ
.  
(29)
Собственные функции 
i
y
 задачи (28) , отвечающие собственным значениям 
(29) 
1
,...,
2
,
1
,
,
sin
)
(
−
=
=
N
i
k
N
i
k
y
k
i
π
.
Таблица 1 – Сравнение решения собственных значений при 
9
1
=
N
Приближенные собственные 
значения 
)
(h
λ
Собственные значения, определенные 
по формуле (29)
)
(
)
(
h
k
h
λ
λ
−
0.9979 25 
3.967210 
8.8346 47 
15.480522 
23.741062 
33.412880 
44.257851 
56.009026 
68.376816 
81.056915
93.737106 
106.104919 
117.856033 
128.701065 
138.372925 
146.633423 
153.279251 
158.146698 
161.115967
0.997946
3.967210 
 8.834679 
15.480499 
23.741032 
33.412872 
44.257866 
56.008976 
68.376854 
81.056953
93.737053 
106.104927 
117.856041 
128.701035 
138.372879 
146.633408 
153.279236 
158.146698 
161.115967
0.000021
0.000000
0.000031
0.000023
0.000031
0.000008
0.000015
0.000050
0.000038
0.000038
0.000053
0.000008
0.000008
0.000031
0.000046
0.000015
0.000015
0.000000
0.000000
Интересно сопоставить решения дифференциальной и разностной задач на 
собственные  значения.  Спектр  дифференциальной  задачи  не  ограничен,  т.е. 
∞
→
k
λ
 при 
∞
→
k
, в то время как спектр разностной задачи ограничен сверху 
при каждом фиксированном шаге 
h
 числом 
2
4
h
.
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 96-107  
 
 
                ISSN 1683-1667 

106
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
Рассмотрим  тестовую  задачу  на  собственные  значения  для  оператора 
q
l
 
(7), (8) в которой функция 
)
(x
q
 имеет следующий вид 
,
)
(
)
1
(
)
2
(
1
)
(
2
c
x
k
k
x
q
−
+
+
+
=
  
 
где 
k
  –  любое  положительное  действительное  число, 
c
  –  абсолютно  любое  
число. Известно, что одним из собственных значений и собственной функцией 
будет 
1
1
=
λ
, 
2
1
)
(
+
−
=
k
c
x
u
.
Из граничных условий (8) получим
c
k
l
2
+
−
=
, 
c
k
L
−
+
−
=
π
2
.
Вследствие  численной  реализации  данного  тестового  примера  были 
получены собственные значения и соответствующие им сеточные собственные 
вектора,  например  при 
4
2
.
184
)
(
3
=
h
λ
  получаются  следующие  сеточные  
собственные вектора 
i
y
: 1.0000, 3.1249, 5.1256, 6.7846, 7.8100 и т.д. 
Численное решение тестовых задач проводилось в вычислительной среде 
со  следующими  параметрами:  компьютер  –  однопроцессорный  Intel(R) 
Pentium(R) 4CPU 3.20 GHz с общей памятью 1.0 GB, операционная система – 
Microsoft  Windows  XP  Professional  версия  2008  Service  Pack  3,  язык 
программирования Compaq Visual Fortran Professional Edition 6.6.0. Для данного 
компьютера собственные значения высчитываются максимально до n=35, при 
больших значениях это затруднительно, так как не хватает машинных ресурсов. 
Для получения более точных результатов при больших значениях 
n
 необходимо 
использовать суперкомпьютер. 
Заключение.  Численно  определены  спектральные  данные  оператора,  т.е. 
собственные вектора, весовые числа и вспомогательная функция. Далее численно 
получено  ядро  интегрального  уравнения  Гельфанда-Левитана,  используя 
вспомогательную  функцию.  Аналитически  показаны  два  примера  решения 
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

107
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
интегрального уравнения Гельфанда-Левитана. В первом примере определяется 
функция  F(x,  t)  с  заданным  ядром  G(x,  t),  при  этом  решаем  уравнение  Воль-
тера  второго  рода.  Во  втором  примере  с  заданной  функцией  F(x,  t)  получаем 
уравнение Фредгольма второго рода, для нахождения ядра G(x, t) используется 
метод последовательных приближений. 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.  Гельфанд  И.М.  Об  определении  дифференциального  уравнения  по  его 
спектральной функции / И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан // Изв. АН СССР. – 1951. – Т. 15. 
– №4. – С. 309-360.
2.  Власова Е.А. Приближенные методы математической физики / Е.А. Власова, 
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 700 с.
3.  Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля / М.Г. Крейн // Докл. 
АН СССР. – 1951. – Т. 76. – №1. – С. 21-24.
4.  Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля / Б.М. Левитан. – М.: Наука. 
Главная редакция физико-математической литературы, 1984. – 240 с. 
5.  Юрко  В.А.  Обратные  спектральные  задачи  и  их  приложения  /  В.А.  Юрко.  – 
Саратов: Издательство Саратовского педагогического института, 2011. – 499 с.
6.  Кабанихин  С.И.  Обратные  и  некорректные  задачи  /  С.И.  Кабанихин.  – 
Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009. – 457 с. 
7.  Темирбекова Л.Н. 
Численное решение уравнения Гельфанда-Левитана на основе 
метода сингулярного разложения и оптимизации / 
Л.Н. Темирбекова, 
Л.М.
 
Даирбаевой 
// Известия НАН РК. – 2012. – №1.– С. 3-9.
REFERENCES
1.  Gel’fand I.M., Levitan B.M., Ob opredelenii differencial’nogo uravnenija po ego 
spektral’noj funkcii. Izv. AN SSSR 1951, 15, 4. 309, 360 (in Russ).
2.  Vlasova E.A., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Priblizhennye metody matematicheskoj 
fiziki. M. Izdatel’stvo MGTU im. N.Je. Baumana, 2001, 700 (in Russ).
3.  Krejn M.G., Reshenie obratnoj zadachi Shturma Liuvillja. Dokl. AN SSSR. 1951, 76, 
1, 21, 24 (in Russ).
4.  Levitan B.M., Obratnye zadachi Shturma Liuvillja. M. Nauka. Glavnaja redakcija 
fiziko matematicheskoj literatury, 1984, 240 (in Russ).
5.  Jurko V.A., Obratnye spektral’nye zadachi i ih prilozhenija. Saratov: Izdatel’stvo 
Saratovskogo pedagogicheskogo instituta, 2011, 499 (in Russ).
6.  Kabanihin S.I., Obratnye i nekorrektnye zadachi. Novosibirsk: Sibirskoe nauchnoe 
izdatel’stvo, 2009, 457 (in Russ).
7.  Temirbekova  L.N.,  Dairbaevoj  L.M.,  Chislennoe  reshenie  uravnenija  Gel’fanda 
Levitana  na  osnove  metoda  singuljarnogo  razlozhenija  i  optimizacii  Izvestija  NAN  RK,  1, 
2012, 3, 9 (in Russ).
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 96-107  
 
 
                ISSN 1683-1667 

108
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
УДК 517
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ
Казахский национальный педагогический университет имени Абая, 
институт математики, физики и информатики, г. Алматы, Казахстан 
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО 
УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬФАНДА-ЛЕВИТАНА
В данной работе рассматриваются численные методы решения обратных задач для 
гиперболических уравнений. В обратной задаче требуется восстановить коэффициент 
по дополнительной информации о решении прямой задачи. Для численного решения 
интегрального  уравнения  Гельфанда-Левитана,  который  является  интегральным 
уравнением Фредгольма первого рода, применяются метод регуляризации Лаврентьева, 
прямой  метод  квадратного  корня  и  метод  сопряженных  градиентов.  Показана 
эффективность разработанного численного метода сопряженных градиентов.
Ключевые слова: уравнение, схема, аппроксимация, устойчивость, сходимость, 
регуляризация, погрешность.
ГЕЛЬФАНД-ЛЕВИТАН ТЕҢДЕУІН САНДЫҚ ӘДІСТЕРМЕН ШЕШУ 
Бұл  жұмыста  гиперболалық  типті  кері  теңдеулерді  шешудің  сандық  әдістері 
қарастырылған. Кері есепте тура есептің шешімінен алынған қосымша ақпарат арқылы 
коэффициентті  табу  қажет.  Бірінші  реттік  Фредгольм  теңдеуі  болып  есептелінетін 
интегралдық Гельфанд-Левитан теңдеуін сандық шешу үшін Лаврентьев регуляризация 
әдісі, квадрат түбірлер тура әдісі және түйіндес градиенттер әдісі қолданылады. Түйіндес 
градиенттер сандық әдісінің тиімділігі көрсетілген. 
Түйін  сөздер:  теңдеу,  схема,  аппроксимация,  тұрақтылық,  жинақтылық, 
регуляризация, қателік.
NUMERICAL METHOD OF SOLVING 
GELFAND-LEVITAN INTEGRAL EQUATION 
In the given work we consider numerical methods of solving inverse problems for hy-
perbolic equations. It is necessary to restore the coefficient of extra information about solving 
direct problem in the reverse one. To solve numerically Gelfand-Levitan integral equation, 
which is Fredholm integral equation of first kind, they use Lavrentiev regularization method, 
direct square root method, and conjugate gradient method. We present the effectiveness of 
developed numerical conjugate gradient method.
Keywords:  equation,  scheme,  approximation,  stability,  convergence,  regularization, 
error.
Математической  предпосылкой  развития  теории  коэффициентных 
обратных задач для гиперболических уравнений послужила работа И.М. Гель-
фанда  и  Б.М.  Левитана  [1].  В  этой  работе  решение  обратной  задачи  сводится 
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

109
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
к  решению  линейного  интегрального  уравнения,  называемого  впоследствии 
уравнением  Гельфанда-Левитана.  Важные  результаты  были  также  получены 
М.Г.  Крейном  [2]  и  В.А.  Марченко  [3].  Монографии  Б.М.  Левитана  [4]  и 
М.Г.  Крейна  [5]  посвящены  обратной  задаче  Штурма-Лиувилля.  В  работах 
Б.С.  Парийского  [6]  предложены  экономичные  методы  численного  решения 
уравнений Фредгольма второго рода в свертках с положительно определенным 
ядром.  В  монографии  Кабанихина  С.И.  [7]  изложены  результаты  изучения 
прямой и обратной задачи с распределенными начальными данными, задача с 
сосредоточенным источником для уравнения гиперболического типа. Доказана 
разрешимость в целом обратной задачи для уравнения гиперболического типа. 
Решение  обратной  задачи  приводит  к  интегральному  уравнению  Фредгольма 
первого  рода,  которое  является  некорректным.  В  работе  С.И.  Кабанихин  и 
Г.Б. Баканов [8] был исследован дискретный аналог метода Гельфанда-Левитана 
в двумерной обратной задаче для гиперболического уравнения. 
Данная  работа  посвящена  разработке  численных  методов  решения 
коэффициентной  обратной  задачи  с  сосредоточенным  источником  для 
уравнения  гиперболического  типа  входящих  в  вышеприведенные  группы. 
При использовании схем регуляризации М.М. Лаврентьева или А.Н. Тихонова 
приближенное  решение  находится  из  систем  уравнений  с  положительно 
определенной  и  хорошо  обусловленной  матрицей.  Разработан  и  численно 
реализован итерационный метод с регуляризацией М.М. Лаврентьева. Показано, 
что  наиболее  оптимальный  из  градиентных  методов  решения  операторного 
уравнения – метод сопряженных градиентов.
Постановка задачи и численное решение прямой задачи 
Прямая  задача  с  сосредоточенным  источником  состоит  в  нахождении 
обобщенного решения 
)
,
( t
x
u
 задачи Коши [7]
,
)
( u
x
q
u
u
x
x
t
t
−
=
,
R
x ∈
 
,
0
>
t
  
(1)
,
0
|
0
=
=
t
u
 
)
(
|
0
x
u
t
t
δ
=
=
  
(2)
где 
)
(x
δ
 – дельта функция Дирака. В обратной задаче требуется восстановить  
 
непрерывную функцию 
)
(x
q
 по дополнительной информации о решении прямой 
задачи (1), (2)
( )
,
0
,
0
,
)
(
)
,
0
(
=
=
t
u
t
r
t
u
x
 
.
0
≥
t
  
(3) 
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ. 1 (69) 2016. С. 108-120   
 
                ISSN 1683-1667 

110
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
Задача (1), (2) с начальным условием в виде дельта – функции поставлена 
для нахождения обобщенного решения. Согласно изложенным в работах [6, 7] 
результатам прямая задача (1)-(2) эквивалентна следующей задаче Гурса: 
 
( ) ,
1
|
,
| |
2 | |,
2
tt
xx
t x
u
u
q x u
u
x t
a x
=
=
−



=
< <
−

  
(4) 
где 
)
(x
q
 – заданная функция. 
Рассмотрим  область 
{
}
, 0
2
D
a x a
t
a
= − < <
< <
.  Задача  Гурса  численно  
решается  в  области 
{
}
1
,
2
D
a x a x t
a x
= − < <
< <
−
, 
D
D ⊂
1
.  Строим  
равномерную сетку 
τ
h
D
 приведенную на рисунке 1. 
{
}
( , ) :
,
0,1,..., ,
2 ;
,
0,1,..., ,
2
h
l
n
l
n
D
x t
x
a l h l
N h N
a t
n
n
K K
a
τ
τ
τ
=
= − + ⋅
=
⋅ =
= ⋅
=
⋅ =
.
Гиперболическое  уравнение  (4)  численно  решается  в  области 
τ
h
D
  с 
помощью разностной схемы [7]:
 
(
)
2
5
,
0
2
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
1
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
u
u
q
q
h
u
u
u
u
u
u
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
−
=
+
−
τ
,  
(5)
при
h
=
τ
 получаем схему квадрат: 
k
n
u
u
q
q
h
u
u
u
u
n
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
,...,
8
,
6
,
4
,
2
,
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
=






+
+
−
−
+
=
−
+
−
+
−
−
+
+
.  
(6)
Граничные условия для сеточной задачи 
;
,...,
2
,1
;
,...,
2
,1
;
5
,
0
;
1
,...,
1
,
;
,...,
2
,1
;
5
,
0
m
n
N
m
m
i
u
m
m
n
m
i
u
n
i
n
i
=
+
+
=
=
−
=
=
=
 
(7)
Так как по формуле (6) значения решения по направлении t находятся в 
узлах  кратных  двум,  другие  значения  находятся  линейной  интерполяцией  по 
значениям решения в четырех соседних узлах. 
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

111
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
Рисунок 1 – Схема решения прямой задачи
Сведение коэффициентной обратной задачи к интегральному уравнению 
типа Гельфанда-Левитана. Метод регуляризации М.М. Лаврентьева
Необходимые и достаточные условия разрешимости в целом задачи (1)-(3) 
были предложены в работах Б.С. Парийского [6] и А.С. Благовещенского [9]. В 
монографии С.И. Кабанихина [7] построены интегральные уравнения Гельфан-
да-Левитана  первого  и  второго  рода  относительно  искомой  функции 
( , )
x t
ω

 
которые связаны с коэффициентом 
( )
q x
 уравнения (1) с интегральным 
соотношением. В настоящей работе 
для численного решения рассмотрено 
только интегральное уравнение первого рода.  
Согласно  результатам,  изложенным  в  монографии  В.Г.  Романова  [10]  для 
обратной  задачи  (1)-(3)  выполняется  интегральное  уравнение  Гельфанда-
Левитана 
(
) (
)
[
]
(
) ( )
t
x
d
x
t
r
x
t
r
x
t
r
x
x
>
=
−
+
+
+
−
∫
−
,
0
,
~
2
1
τ
τ
ω
τ
.  
(8)
При  каждом  фиксированном 
0
>
x
  соотношение  (8)  является  интеграль-
ным 
уравнением 
Фредгольма 
первого  рода  относительно  функции 
,
)
,
(
~ t
x
ω
 
(
)
x
x
t
,
−
∈
. 
Функция 
)
,
(
~ t
x
ω
 связана с коэффициентом 
)
(x
q
уравнения (1) следующим 
соотношением 
0
,
)
(
4
1
)
0
,
(
~
0
>
=
−
∫
x
d
q
x
x
x
ξ
ξ
ω
.  
(9)
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ. 1 (69) 2016. С. 108-120   
 
                ISSN 1683-1667 

112
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
Перепишем уравнение (8) в операторной форме 
f
A =
ω
~
.   
(10) 
Рассмотрим следующее интегральное уравнение Фредгольма первого рода 
x
t
t
f
d
x
t
r
t
x
A
x
x
<
=
−
=
∫
−
|
|
),
(
)
,
(
~
)
(
)
,
(
~
β
β
ω
β
ω
  
(11)
где 
(
)
x
x
L
f
,
,
~
2
−
∈
ω
, а 
(
)
x
L
t
r
2
,
0
)
(
2
∈
. Предположим, что 
)
(t
r
 – вещественная  
функция и не симметрична. Тогда интегральный оператор 
∫
−
−
=
x
x
d
x
t
r
t
x
A
β
β
ω
β
ω
)
,
(
~
)
(
)
,
(
~
 
также будет не симметричным. Определим сопряженный к оператору 
A
 оператор 
*
A
 соотношением
∫
−
∈
−
=
x
x
x
L
t
p
d
p
t
r
t
p
A
)
2
,
0
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2
*
ξ
ξ
ξ
.
Применим к уравнению (11) оператор 
*
A
:
f
A
A
A
*
*
~ =
ω
. 
Оператор 
A
A
*
 является симметричным интегральным оператором 
 
∫
∫
−
−
−
−
=
x
x
x
x
d
d
x
r
t
r
t
x
A
A
ξ
β
β
ω
β
ξ
ξ
ω
)
,
(
~
)
(
)
(
)
,
(
~
*
.
Ядро оператора 
A
A
*
 симметрично 
∫
−
−
−
=
x
x
d
r
t
r
t
k
ξ
β
ξ
ξ
β
)
(
)
(
)
,
(
~
.  
(12) 
Наряду с уравнением (11) рассматривается регуляризованное уравнение 
)
(
)
,
(
~
)
,
(
~
*
*
t
f
A
t
x
A
A
t
x
γ
ω
ω
α
=
+
,  
(13)
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

113
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
где 
α
- параметр регуляризации, 
(
)
x
L
f
2
,
0
,
0
2
∈
>
γ
γ
. 
Для решения строится следующее уравнение регуляризационным методом 
М.М. Лаврентьева
 
.
)
(
)
,
(
~
)
,
(
~
*
*
t
f
A
t
x
A
A
t
x
γ
ω
ω
α
=
+
  
(14)
где 
0
( )
( )
( , )
f t
f t
x t
γ
αω
=
+ 
, 
α
  –  положительный  параметр, 
0
( , )
x t
ω

  –  пробное  
решение.
Регуляризованное уравнение (14) решается градиентными методами Ланд-
вебера, сопряженных градиентов и прямым методом квадратного корня. 
 Метод сопряженных градиентов для некорректных задач
Для решения задачи (10) применяется метод сопряженных градиентов для 
некорректных задач [7]. Градиентные методы в каноническом виде записываются 
формулой 
,
0
,
)
,
(
~
)
,
(
~
)
,
(
~
1
>
′
−
=
+
n
n
n
n
n
t
x
J
t
x
t
x
α
ω
α
ω
ω
для которых параметр спуска 
n
α
 либо фиксирован, либо выбирается из условия  
минимума  некоторого  функционала  качества 
2
)
,
(
~
))
,
(
~
(
f
t
x
A
t
x
J
−
=
ω
ω
.  Где  
градиент функционала 
( )
ω
~
J
 имеет вид
(
)
.
)
,
(
~
2
)
,
(
~
*
f
t
x
A
A
t
x
J
n
n
−
=
′
ω
ω
 
Запишем градиент функционала в интегральной форме
.
)
(
)
(
2
)
,
(
~
)
(
)
(
2
)
,
(
~
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
=
′
x
x
x
x
x
x
n
n
d
f
t
r
d
d
x
r
t
r
t
x
J
ξ
ξ
ξ
ξ
β
β
ω
β
ξ
ξ
ω
  
(15)
Для численного решения уравнения (15) интеграл заменяется квадратурной  
формулой прямоугольников и полагая 
t
j
t
j
∆
=
)
(
, 
n
x
t =
∆
, 
)
( j
t
t =
, 
n
n
n
j
,..,
1
, +
−
−
=
  
получим матрицу 
*
h h
A A
линейного оператора 
*
A A
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ. 1 (69) 2016. С. 108-120   
 
                ISSN 1683-1667 

114
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
2
( )
2
( )
2
( )
1
2
(
1)
2
(
1)
2
(
1)
1
2
(
*
(
) (
)
(
) (
) ...
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
) ...
(
) (
)
(
n
n
n
n
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i n
i n
i n
n
n
n
n
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i n
i n
i n
n
i
h h
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t
A A
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
−
−
−
−
− +
=−
=−
=−
− +
− +
− +
−
− +
=−
=−
=−
− +
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
2)
2
(
2)
2
(
2)
1
2
( 1)
2
( 1)
2
( 1)
1
2
( )
) (
)
(
) (
) ...
(
) (
)
...
...
...
...
(
) (
)
(
) (
) ...
(
) (
)
(
) (
n
n
n
n
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i n
i n
i n
n
n
n
n
n
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i n
i n
i n
n
i
r
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t
r
h
r
t r
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
ξ
ξ
− +
− +
−
− +
=−
=−
=−
−
−
−
−
− +
=−
=−
=−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
2
( )
2
( )
1
)
(
) (
)
...
(
) (
)
n
n
n
n
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i n
i n
i n
h
r
t r
h
r
t r
β
ξ
ξ β
ξ
ξ β
−
− +
=−
=−
=−






























−
−
−
−
−




∑
∑
∑
 
(16)
Правая часть 
*
( )
(
) ( )
x
h
x
A f t
r
t f
d
ξ
ξ ξ
−
=
−
∫
 в дискретном виде
 
*
( )
(
1)
( )
( )
(
) ( ),
(
) ( ),...,
(
) ( )
T
n
n
n
n
n
n
h
i
i
i
i
i
i
i
n
i
n
i
n
A f t
h
r
t
f
h
r
t
f
h
r
t
f
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
−
− +
=−
=−
=−


=
−
−
−




∑
∑
∑

.  (17)
Искомая сеточная функция 
( , )
h
x t
ω


(
)
( )
(
1)
(0)
(1)
( )
( , )
( ,
), ( ,
),..., ( ,
), ( , ),..., ( ,
)
T
n
n
n
h
h
h
h
h
h
x t
x t
x t
x t
x t
x t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
− +
=







.
Размерность матрицы 
*
h h
A A
 равна 
)
2
2
(
n
n×
.

жүктеу/скачать 5,27 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: