Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, М.У. ШАМЕТОВ

97
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
Штурма-Лиувилля  являются  лишь  асимптотическими,  т.е.  выполняются  при 
больших значениях 
n
. Таким образом, приведенные в [4, 5] формулы не пригод- 
ны  для  численного  определения  собственных  значений 
{ }
0
≥
n
n
λ
  и  весовые 
числа 
{ }
0
≥
n
n
α
  оператора  Штурма-Лиувилля  на  конечном  интервале. 
В данной работе рассматривается разностная задача на собственные значения 
для  оператора  Штурма-Лиувилля.  Определяются  численно  спектральные 
данные  оператора  и  вспомогательная  функция.  Для  нахождения  численных 
значений ядра оператора Штурма-Лиувилля решается интегральное уравнение 
Фредгольма второго рода. 
 Постановка задачи
Постановка оператора Штурма-Лиувилля на конечном интервале
,
0
,
)
(
)
(
)
(
)
(
π
<
<
+
′′
−
=
x
x
u
x
q
x
u
x
u
l
q
  
(1)
0
)
(
)
(
,
0
)
0
(
)
0
(
=
+
′
=
−
′
π
π
u
L
u
u
l
u
,  
(2)
и предположим, что нам неизвестны потенциал 
)
,
0
(
)
(
2
π
L
x
q
∈
и коэффициенты 
L
l,
, входящие в краевые условия.
 
Пусть 
{
}
0
,
≥
n
n
n
α
λ
– спектральные данные 
q
l
. Будем решать обратную задачу 
 
восстановления 
q
l
 по заданным спектральным данным 
{
}
0
,
≥
n
n
n
α
λ
. Потенциал 
)
(x
q
 и коэффициенты 
L
l,
 находятся с помощью оператора преобразования для 
собственных функций оператора 
q
l
:
∫
+
=
x
tdt
t
x
G
x
x
0
cos
)
,
(
cos
)
,
(
λ
λ
λ
ϕ
, 
(3)
где 
)
,
( t
x
G
  –  вещественная  непрерывная  функция,  удовлетворяющая  
 
соотношению
∫
+
=
x
t
d
t
q
h
x
x
G
0
)
(
2
1
)
,
(
. 
(4)
Для определения ядра 
)
,
( t
x
G
 введем функцию 
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 96-107  
 
 
                ISSN 1683-1667 

98
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
∑
∞
=








−
=
0
0
cos
cos
cos
cos
)
,
(
n
n
n
n
n
t
n
x
n
t
x
t
x
F
α
α
λ
λ
, 
(5)
где 




=
>
=
0
,
0
,
2
0
n
n
n
π
π
α
,
Уравнение Гельфанда-Левитана имеет вид [5]
∫
<
<
=
+
+
x
x
t
s
d
t
s
F
s
x
G
t
x
F
t
x
G
0
0
,
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
. 
(6)
Таким образом, обратная задача сводится к решению уравнения (6), которое 
является уравнением Фредгольма второго рода с параметром 
x
.
Обратные  задачи  спектрального  анализа  хорошо  исследованы. 
В монографии Левитана Б.М. [1] рассмотрены обратные задачи для оператора 
Штурма-Лиувилля на полупрямой. В монографии Кабанихина С.И. [6] данная 
обратная  задача  рассмотрена  на  ограниченном  отрезке.  Для  восстановления 
оператора  Штурма-Лиувилля  получается  основное  интегральное  уравнение 
Гельфанда-Левитана.  Трудность  применения  этого  метода  является  сложность 
определения функции
∑
∞
=








−
=
0
0
cos
cos
cos
cos
)
,
(
n
n
n
n
n
t
n
x
n
t
x
t
x
F
α
α
λ
λ
т.к.  данная  функция  является  асимптотическим  приближением.  Нахождения 
собственных  значений  оператора  Штурма-Лиувилля  являются  отдельной 
проблемой. Введенная выше формула для 
)
,
( t
x
F
 применима только в некоторых  
 
частных  случаях,  например  при  заданных 
n
n
α
λ
,
.  Таким  образом  форму- 
 
ла  для 
)
,
( t
x
F
  не  пригодится  для  определения  ее  значений  и  тем  самым  
 
практическии не удается решить. Поэтому актуальным является рассмотрение 
разностных  операторов  Штурма-Лиувилля.  Этот  подход  позволит  найти 
собственные значения этого оператора и тем самым вычислить функцию 
)
,
( t
x
F
. 
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

99
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
Тогда из уравнения Гельфанда-Левитана получим уравнения Фредгольма второго 
рода, которые можно решить эффективными численными методами. 
Вычисление собственных значений и собственных функции
Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора 
q
l
)
,
0
(
,
0
)
(
))
(
(
)
(
π
λ
∈
=
−
−
′′
−
x
x
u
x
q
x
u
 
(7)
0
)
(
)
(
,
0
)
0
(
)
0
(
=
+
′
=
−
′
π
π
u
L
u
u
l
u
 
(8)
в  случае  равномерной  одномерной  сетки  с  шагом 
N
h
π
=
  и  узлами 
N
n
h
n
x
n
,
0
,
=
=
 
N
n
h
n
x
n
,
0
,
=
=
 рассматриваемой задаче (7), (8) отвечают разностные уравнения
1
,
1
,
0
)
2
(
1
)
(
2
2
1
−
=
=
−
−
+
+
−
+
−
N
n
y
y
h
q
h
y
n
n
h
n
n
λ
,  
(9)
Запишем разностные аналоги граничных условий (8)
0
,
0
1
0
1
0
0
1
=
−
ℵ
=
−
−
y
y
y
l
h
y
y
 где 
)
1
(
1
l
h
+
=
ℵ
, 
(10)
0
,
0
1
2
1
=
−
ℵ
=
+
−
−
−
N
N
N
N
N
y
y
y
L
h
y
y
 где 
)
1
(
2
L
h
+
=
ℵ
, 
(11)
где
1
,1
,
)
(
1
2
2
−
=
=
∫
+
−
N
n
x
d
x
q
h
q
h
x
h
x
n
n
n
.  
(12)
При 
1
=
n
 из (19) получим
,
0
)
2
(
2
1
2
1
2
0
=
−
−
+
+
−
y
y
h
q
h
y
λ
Сделаем обозначение
λ
2
1
2
2
2
h
q
h
b
−
+
=
.  
(13)
Аналогично при 
1
−
=
N
n
 получим
.
0
)
2
(
1
2
1
2
2
=
−
−
+
+
−
−
−
−
N
N
N
N
y
y
h
q
h
y
λ
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 96-107  
 
 
                ISSN 1683-1667 

100
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
Таким образом
 
λ
2
1
2
1
2
h
q
h
b
N
N
−
+
=
−
−
.  
(14)
Условием  существования  нетривиального  решения  системы  линейных 
алгебраических уравнений 
y
E
y
A
λ
=
 является равенство нулю определителя 
0
)
det(
=
−
E
A
λ
,  где 
y
  –  вектор  узловых  значений, 
E
–  единичная  матрица 
порядка N, A  – трехдиагональная матрица следующего вида
.
0
...
0
0
0
0
...
0
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
...
0
0
0
0
...
0
0
0
0
...
0
0
2
1
1
1
2
2
3
3
3
2
2
2
1
1






















ℵ
−
−
−
−
−
−
−
−
−
ℵ
=
−
−
−
−
−
N
N
N
N
N
N
a
c
b
a
c
b
c
b
a
c
b
a
c
A
Элементы матрицы определены следующим образом
1
,...,
3
,
2
,
2
)
(
2
2
−
=
−
+
=
N
i
h
q
h
b
h
i
i
λ
, 
1
,
1
,
1
,
,
2
,
1
−
=
=
=
=
N
i
c
N
i
a
i
i
.
Перед  нахождением  численных  значений  собственных  значений  и 
соответствующих им собственных векторов матрицы 
A
 целесообразно оценить 
промежуток их возможного изменения.
Собственные  значения  трехдиагональной  матрицы 
A
  удовлетворяют 
неравенству по содержанию теоремы С.А. Гершгорина
1
,
1
,
−
=
+
≤
−
N
n
c
a
b
n
n
n
λ
,  
(15)
 
n
n
n
n
n
n
c
b
a
c
b
a
+
+
≤
≤
−
+
−
λ
,
 
)
(
max
1
,
1
max
n
n
n
N
n
c
b
a
+
+
≤
−
=
λ
,  
(16)
)
min(
min
n
n
n
c
b
a
−
+
−
≥
λ
.
Если 
0
>
n
b
, 
1
,
1
−
=
N
n
 то из (15), (16) имеем 
0
≥
−
−
≥
n
n
n
c
a
b
λ
, т.е. все 
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

101
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
собственные значения неотрицательны. 
Если  к  тому  же 
A
  является  матрицей  с  частным  диагональным 
преобладанием, то 
0
det ≠
A
, т.е. она не имеет нулевого собственного значения и
все  ее  собственные  значения  положительны,  причем  с  учетом  соотношений  
n
n
n
n
c
a
b
b
+
≥
=
, 
N
n
,
1
=
, из неравенства (15), (16) следует более грубая, но и  
более простая оценка
n
N
i
b
,
1
max
max
2
=
≤
λ
.  
(17)
Наибольшее  собственное  значение  матрицы 
A
  по  ее  наибольшему 
диагональному элементу.
Приближенные значения 
)
(h
λ
 при 
1
>>
N
 находим итерационным методом, 
связанным  с  многократным  вычислением  значения  характеристического 
многочлена 
)
det(
E
A
λ
−
 матрицы 
A
, при пробных значениях 
λ
. Используем су- 
ществующий устойчивый и экономичный способ, требующий для вычисления 
)
det(
E
A
λ
−
 всего 
N
5
 арифметических операций (сложений и умножений). Он  
основан на рекуррентной формуле
N
n
M
c
a
M
b
M
n
n
n
n
n
n
,1
,
2
1
1
=
−
=
−
−
−
,  
(18)
где 
n
M
– угловой минор порядка 
n
 трехдиагональной матрицы 
E
A
λ
−
. Такие  
миноры называются главными диагональными. 
Для  начала  вычислений  при 
1
=
n
  следует  положить, 
1
0
=
M
  и 
0
1
=
−
M
. 
Тогда получим для 
1
=
n
:
1
1
0
1
0
1
1
b
M
c
a
M
b
M
=
−
=
−
,
 
для 
2
=
n
:
 
1
2
1
2
0
1
2
1
2
2
c
a
b
b
M
c
a
M
b
M
−
=
−
=
,
для 
3
=
n
:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
3
b
c
a
c
a
b
b
b
b
M
c
a
M
b
M
−
−
=
−
=
 и т.д.
Теперь  определим  отрезки,  в  которых  лежат  корни  характеристического 
уравнения 
0
)
det(
=
−
E
A
. Для этого используем следующий алгоритм. 
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 96-107  
 
 
                ISSN 1683-1667 

102
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
Задаем 
2
,
1
,
0
2
1
=
=
=
m
m
j
. Далее положим 
1
+
=
j
j
. Если 
1
−
>
n
j
, то  
процесс отделения корней заканчивается. Иначе вычисляем 
)
det(
)
(
1
1
E
l
A
l
f
m
m
−
=
,  
(19)
)
det(
)
(
2
2
E
l
A
l
f
m
m
−
=
,  
(20)
по вышеприведенной формуле (18).
Если 
0
)
(
)
(
2
1
≤
m
f
m
f
  
(21)
то найдем отрезок 
[
]
j
m
j
m
l
l
2
1
,
, содержащий собственное значение 
j
λ
. В противном  
случае положим 
1
2
2
+
=
m
m
 и процесс поиска отрезка продолжим, до тех пор  
пока не выполнится условие (21). После нахождения 
j
-го собственного значе-
ния,  положив 
1
,
1
2
2
1
+
=
=
m
m
m
m
  повторим  этот  процесс  для 
)
1
( +
j
-го  
и т.д. количество отрезков равно размерности матрицы 
A
. 
Для  уточнения  собственных  значений  лежащих  на  отрезках 
[
]
j
m
j
m
l
l
2
1
,
, 
1
,
1
−
=
N
j
  используем  итерационные  методы,  например  метод  Ньютона, 
метод дихотомии. Далее мы должны вычислить собственные вектора с помощью 
полученных собственных значений. 
Для вычисления собственных векторов используем метод стрельбы
,
0
)
(
))
(
(
)
(
=
−
−
′′
−
x
u
x
q
x
u
λ



=
−
−
′
−
=
′
.
0
)
(
))
(
(
)
(
),
(
)
(
x
u
x
q
x
x
x
u
λ
υ
υ
  
(22)
Разностные уравнения системы двух ОДУ первого порядка (22) имеет вид 
,
,1
,
2
1
1
N
j
h
y
y
i
j
i
j
i
j
=
−
=
−
−
−
υ
 
(23)
,
0
)
(
2
1
2
1
=
−
−
−
−
+
j
j
i
j
i
j
y
q
h
λ
υ
υ
  
(24)
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

103
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
Приняв 
1
0
=
y
, из (10) получим 
1
1
ℵ
=
y
, тогда из (23) имеем, что
h
1
1
2
1
−
ℵ
−
=
υ
.
Тогда,  задавая  вычисленные  значения 
λ
,  последовательно  при  каждом 
1
,
1
−
=
N
n
  находим  сначала  из  (24) 
2
1
+
n
υ
,  а  затем  из  (23) 
n
y
  по  следующим 
формулам 
1
,...,
2
,1
,
0
)
(
2
1
2
1
−
=
=
−
+
=
−
+
N
j
y
q
h
j
j
j
j
λ
υ
υ
,
 
1
,..,
2
,1
,
2
1
1
−
=
−
=
+
+
N
j
h
y
y
j
j
i
j
i
j
υ
.
После нахождения собственных векторов используем формулу (5) найдем 
)
,
( t
x
F
,  далее  по  формуле  Гельфанда-Левитана  (6)  найдем 
)
,
( t
x
G
  и 
восстанавливаем функцию 
)
(x
q
. Весовые числа
∫
=
π
λ
ϕ
α
0
2
)
,
(
x
d
x
n
n
,
определим следующей приближенной формулой
∑
=
≈
N
i
n
i
n
h
y
1
2
)
(
α
,
где 
n
i
y
  –  компоненты  собственного  вектора  соответствующие  собственному  
значению 
n
λ
. Далее по формуле (5) определим табличную функцию 
)
,
(
j
i
t
x
F
,  
i
j
N
i
,...,
1
,
0
,
,...,
1
,
0
=
=
.
Теперь решаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода
∑
=
−
=
+
N
k
j
i
j
k
k
i
j
i
t
x
F
h
t
s
F
s
x
G
t
x
G
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
, 
i
j
N
i
,...,
1
,
0
,
,...,
1
,
0
=
=
.  (25)
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 96-107  
 
 
                ISSN 1683-1667 

104
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
Напишем эти уравнения в матричном виде 
F
G
A =
. Матрица этой СЛАУ
 
















+
+
+
+
=
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
h
t
s
F
A
N
N
N
N
N
N
N
N
)
,
(
1
...
)
,
(
)
,
(
)
,
(
...
...
...
...
...
)
,
(
...
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
...
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
...
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
2
1
0
2
2
2
2
1
2
0
1
1
2
1
1
1
0
0
0
2
0
1
0
0
,
искомая функция и правая часть имеют вид 
(
)
T
N
t
x
G
t
x
G
t
x
G
t
x
G
G
)
,
(
),...,
,
(
),
,
(
),
,
(
2
1
0
=

,
(
)
T
N
t
x
F
t
x
F
t
x
F
t
x
F
F
)
,
(
),...,
,
(
),
,
(
),
,
(
2
1
0
=

.
Решение  уравнения  (25)  различными  численными  методами  показано  в 
работе [7].

жүктеу/скачать 5,27 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: