Алгоритм реализации метода сопряженных градиентов [7]

115
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
5) Вычисляется итерационный параметр 
(
)
2
2
1
1
2
*
( , )
( , )
,
n
n
h
h
n
h
h n
n
h n
J
x t
J
x t
A A p p
A p
ω
ω
α
−
−
′
′
=
=


;
6) Находится следующее приближение 
1
( , )
( , )
n
n
h
h
n n
x t
x t
p
ω
ω
α
+
=
−


.
Метод квадратного корня
Метод  предназначен  для  решения  систем  уравнений  с  симметричной 
матрицей [7-11]. Он основан на разложении симметричной матрицы 
*
h
h
E
A A
α
+
 
в произведении 
*
*
h h
E A A S DS
α
+
=
 
(18) 
где 
S
- верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной  
диагонали, 
*
S
 - матрица, транспонированная к ней, 
D
- диагональная матрица.  
Для 
удобства 
элементы 
матрицы 
*
h h
E A A
α
+
 
обозначим 
через  
,
1,2,..., ,
1,2,...,
ij
a i
m j
m
=
=
 компоненты вектора 
*
h
A f
 через 
,
1,2,...,
i
f i
m
=
. Если  
разложение (18) получено, то решение системы (14) сводится к последовательному 
решению двух систем уравнений с треугольными матрицами
f
y
S =
*
,  
(19)
.
~ y
S
D
=
ω
  
(20) 
По следующим формулам находятся рекуррентно все ненулевые элементы 
матриц 
D
 и 
S
. Диагональные элементы матриц 
S
 и D, 
1
1
s
 и 
1
1
d
 определяются  
по формулам [7-11]
,
,
1
1
1
1
1
1
1
1
a
s
signa
d
=
=
 






−
=
∑
−
=
1
1
2
i
l
l
l
i
l
i
i
i
i
d
s
a
sign
d
, 
1
1
1
1
1
1
d
s
a
s
j
j
=
, 
m
j
,...,
3
,
2
=
,
В частности, при 
j
i =
 получаем
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ. 1 (69) 2016. С. 108-120   
 
                ISSN 1683-1667 

116
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
1
,....,
3
,
2
,
2
/
1
1
1
2
−
=






−
=
∑
−
=
m
i
d
s
a
s
l
l
i
l
i
l
i
i
i
i
.
Далее, при 
j
i <
 имеем 
i
i
i
i
i
l
l
l
j
l
i
l
j
i
j
i
d
s
d
s
s
a
s
∑
−
=
−
=
1
1
, 
m
i
j
,...,
1
+
=
.
Последний диагональный элемент определяется по формуле
∑
−
=
−
=
1
1
2
m
l
l
l
m
l
m
m
m
m
d
s
a
s
.
Решения систем уравнений (19), (20) находятся по следующим формулам
,
1
1
1
1
s
f
y =
 
m
i
s
y
s
f
y
i
i
i
j
j
i
j
i
i
,...,
3
,
2
,
1
1
=
−
=
∑
−
=
,
 
,..,
2
,1
,
~
~
1
−
−
=
−
=
∑
+
=
m
m
i
d
s
d
s
y
i
i
i
i
m
i
j
i
i
j
j
i
i
i
ω
ω
 
m
m
m
m
m
m
d
s
y
=
ω~
.
7. Анализ численных результатов
На  основе  предложенных  методов  решения  коэффициентной  обратной 
задачи  по  восстановлению  коэффициента  были  разработаны  эффективные 
алгоритмы  численной  реализации  и  написаны  программные  коды. 
Вычислительные  эксперименты  проводились  для  различных  функций  q(x)  в 
широком  диапазоне  параметра  x.  Результаты  численных  расчетов  показывают 
непрерывную зависимость решения уравнения от изменения входных данных. 
На  рисунке  2  приведены  результаты  численного  решения  семейств 
интегральных уравнений Гельфанда-Левитана и их сравнение с точным решением 
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

117
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
искомой функции 
( , )
h
x x
ω

.
Рисунок  2  –  График  функций 
( )
,
h
x x
ω

  определенный  методом  Ландвебера  
 
для функций 
x
x
q
7
2
cos
0
1
)
(
+
=
 при 
0
4
=
n
Из формулы (9) дифференцируя, находится 
)
(x
q
 
( ,
0)
( ) 4
h
d
x x
q x
dx
ω
−
=

, 
0
>
x
.  
(22)
Для нахождения сеточных значений функции 
)
(x
q
 по найденным значениям  
функций 
( , )
h
x x
ω

  в  формуле  (22)  производную  от  непрерывной  функций  
заменим левой разностной производной 
 
1
1
4( ( , )
(
,
))
( )
( )
h
i
i
h
i
i
h
i
x x
x x
q x
O h
h
ω
ω
−
−
−
≈
+



, 
n
i
,..,
3
,
2
,
1
=
, 
n
x
h
L
=
,  
(23)
которая  имеет  первый  порядок  аппроксимации.  На  рисунках  3,  4  приведены  
восстановленные функции 
( )
h
q x

. Результат показывает, что отклонение решения  
обратной задачи от заданного 
)
(x
q
 составляет 
0,33226
h
h C
q q
−
=

.
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ. 1 (69) 2016. С. 108-120   
 
                ISSN 1683-1667 

118
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
Рисунок  3  –  График  функций 
x
x
q
7
2
cos
0
1
)
(
+
=
,  восстановленный  методом 
сопряженных градиентов при 
0
4
=
n
 
Рисунок  4  – 
График  функций 
x
x
x
q
8
1
sin
4
)
(
+
=
,  восстановленный  методом 
сопряженных градиентов при 
0
4
=
n
Результаты расчетов разными методами сведены в таблицу 1. Приведены 
результаты  сравнения  трех  численных  методов  по  таким  параметрам,  как 
количество итерации, норма погрешности и затраченное машинное время.
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

119
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
Таблица  1  –  Сравнительный  анализ  численного  решения  интегрального  уравнения 
Гельфанда-Левитана  различными  методами  при  количестве  узлов  сетки 
100,
n =
0.0001
α
=
Методы 
Количество 
итерации 
Норма 
погрешности 
р
п
T
ω
ω
~
~ −
Количество 
машинного 
времени 
Сходимость 
Метод Ландвебера 
1413
3,8036578Е-03
19,44 сек
сходится 
Метод 
сопряженных 
градиентов
59
0,0990453Е-05
11 мин 9,33 сек
сходится 
Метод квадратного 
корня 
-
3,2112002Е-05  11 мин 12,65 сек
сходится 
Результаты  расчетов  показывают,  что  метод  сопряженных  градиентов 
является  наиболее  эффективным  из  тех  методов,  которые  были  реализованы, 
т.к. матрица системы является симметричной и сходится за малое количество 
итераций.  Сравнительный  анализ  показывает,  что  для  численного  решения 
рассматриваемого  класса  обратных  задач  использование  метода  сопряженных 
градиентов позволяет тратить меньшие машинные ресурсы. 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. 
Гельфанд  И.М.  Об  определении  дифференциального  уравнения  по  его 
спектральной функции / И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан // Изв. АН, сер. мат. – 1951. – 
Т. 15. – С. 309-360.
2. 
Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи 
/ М.Г. Крейн // Докл. АН СССР. – 1954. – Т. 94. – №6. – С. 767-770.
3. 
Аникиев Д.В. Точный динамический метод решения обратной задачи сейсмики 
на основе интегральных уравнений Гельфанда-Левитана / Д.В. Аникиев, Б.М. Каштан, 
А.С. Благовещенский, В.А. Мулдер // Вопросы геофизики. Вып. 44. – СПб., 2011-(Уче-
ные записки СПбГУ; №444). – С. 49-81.
4. 
Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля / М.Г. Крейн // Докл. 
АН СССР. – 1951. – Т. 76. – №1. – С. 21-24.
5. 
Парийский Б.С. Обратная задача для волнового уравнения с воздействием на 
глубине. В кн.: Некоторые прямые и обратные задачи сейсмологии / Б.С. Парийский. – 
М.: Наука, 1968. – С. 139-169 (Вычисл. сейсмология; Вып. 4).
6. 
Кабанихин  С.И.  Обратные  и  некорректные  задачи.  Сибирское  научное 
издательство / С.И. Кабанихин. – Новосибирск, 2009. – 457 с.
7. 
Кабанихин С.И. Дискретный аналог метода Гельфанда-Левитана в двумерной 
обратной  задаче  для  гиперболического  уравнения  /  С.И.  Кабанихин,  Г.Б.  Баканов  // 
Сибирский математический журнал. – 1999. – Т. 40. – №2. – С. 307-324.
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ. 1 (69) 2016. С. 108-120   
 
                ISSN 1683-1667 

120
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
REFERENCES
1.  Gel’fand I.M., Levitan B.M., Ob opredelenii differencial’nogo uravnenija po ego 
spektral’noj funkcii. Izv. AN, ser. matem., 1951, 15, 309, 360 (in Russ).
2.  Krejn M.G., Ob odnom metode jeffektivnogo reshenija obratnoj kraevoj zadachi. 
Dokl. AN SSSR. 1954. T. 94, 6, 767, 770 (in Russ).
3.  Anikiev D.V., Kashtan B.M., Blagoveshhenskij A.S., Mulder V.A., Tochnyj dinami-
cheskij metod reshenija obratnoj zadachi sejsmiki na osnove integral’nyh uravnenij Gel’fanda-
Levitana.Voprosy geofiziki. Vypusk 44. SPb., 2011, Uchenye zapiski SPbGU, 444, 49, 81 (in 
Russ)
4.  Krejn M.G., Reshenie obratnoj zadachi Shturma-Liuvillja. Dokl. AN SSSR. 1951. T. 
76, 1, 21, 24 (in Russ).
5.  Parijskij B.S., Obratnaja zadacha dlja volnovogo uravnenija s vozdejstviem na glu-
bine.  V  kn.  Nekotorye  prjamye  i  obratnye  zadachi  sejsmologii.  M.  Nauka,  1968,  139,169. 
Vychisl. Sejsmologija. Vyp. 4. (in Russ).
6.  Kabanihin S.I., Obratnye i nekorrektnye zadachi. Sibirskoe nauchnoe izdatel’stvo, 
Novosibirsk, 2009, 457 (in Russ).
7.  Kabanihin  S.I.,  Bakanov  G.B.,  Diskretnyj  analog  metoda  Gel’fanda  Levitana  v 
dvumernoj  obratnoj  zadache  dlja  giperbolicheskogo  uravnenija.Sibirskij  matematicheskij 
zhurnal, 1999, 40, 2, 307, 324 (in Russ).
УДК 550.3
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ, М.У. ШАМЕТОВ 
Казахский национальный педагогический университет имени Абая, 
институт математики, физики и информатики, г. Алматы, Казахстан 
ВЫЯВЛЕНИЯ АНОМАЛИИ ЕСТЕСТВЕННЫХ АССОЦИАЦИЙ  
ХИМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ, ПРОЯВЛЕННЫХ  
В РУДНОАЛТАЙСКОМ И КАЛБИНСКОМ РЕГИОНАХ
В данной работе приведены результаты экспедиционных исследований по геохи-
мии и минералогии рыхлых отложений месторождений полезных ископаемых Рудного 
Алтая  и  Калбы.  В  инженерной  лаборатории  проведены  аналитические  исследования 
ICP-MS спектроскопии отобранных проб на 70 элементов. Полученные числовые дан-
ные обработаны и проанализированы с помощью программных продуктов. Разработана 
математическая модель и метод численного решения задачи о прогнозе химических эле-
ментов на уровнях ниже поверхности земли. 
Ключевые слова: геохимия, Калба, Алтай, регуляризация, аномалия, уравнение. 
КЕНДI АЛТАЙ ЖӘНЕ ҚАЛБА АУМАҚТАРЫНДАҒЫ ХИМИЯЛЫҚ 
ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ ТАБИҒИ АССОЦИАЦИЯЛАРЫНЫҢ ӨЗГЕРІСІН ТАБУ
Бұл жұмыста Кендi Алтай және Қалба пайдалы қазбалар борпылдақ шөгiндiлерiнiң 
кен орындарының геохимиялық және минералогиялық экспедициялық зерттеулерiнiң 
нәтижелерi берiлген. Инженерлiк лабораторияда жиналған сынамаларға 70 химиялық 
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

121
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
элементке  қатысты  аналитикалық  зерттеулер  ICP-MS  спектроскопиямен  жүргiзiлген. 
Алынған  сандық  мәлiметтер  түрлi  программалар  арқылы  өңделген  және  талдау 
жасалған. Жер бетiнен төмен деңгейдегi химиялық элементтердi болжау жайлы есептiң 
математикалық моделi және сандық шешу әдiсi жасалған.
Түйін сөздер: геохимия, Қалбы, Алтай, регуляризация, аномалия, теңдеу. 
ANOMALIES NATURAL ASSOCIATION OF CHEMICAL ELEMENTS 
MANIFESTATION OF THE RUDNYI ALTAI AND KALBA REGIONS
 This paper presents the results of field research on the chemistry and mineralogy of 
unconsolidated deposits of mineral deposits the Rudnyi Altai and Kalba. In engineering labo-
ratory analyzes performed ICP-MS spectroscopy of the samples for 70 elements. The obtained 
numerical data were processed and analyzed using software. The mathematical model and 
numerical method for solving the problem of prediction of the chemical elements at levels 
below the ground surface.
Key words: geochemistry, Kalba, Altai, regularization, anomaly, equation.
Целью  настоящих  исследований  является  получение  фундаментальных 
знаний о закономерностях пространственного распределения химических эле-
ментов в пределах Рудного Алтая и Калбы на основе высокоточных аналитиче-
ских исследований, ИСП-МС спектроскопии, с параллельным использованием 
математических методов прогноза с обработкой новейшими программными про-
дуктами. 
Для достижения поставленной цели выполнены следующие задачи:
1 Собран и обобщен имеющийся архивный материал по геохимии рыхлых 
отложений, месторождений полезных ископаемых и техногенных объектов Руд-
ного Алтая и Калбы [1, 2, 3, 4].
2 Проведено геохимическое картирование по рыхлым отложениям в преде-
лах  Рудноалтайской,  Калба-Нарымской  и  Западно-Калбинской  структурно-ме-
таллогенических зон в масштабе 1:500 000 с отбором литохимических проб по 
вторичным ореолам [5].
3 Проведено аналитическое исследование ICP-MS спектроскопии отобран-
ных проб на 70 элементов в лаборатории инженерного профиля «ІРГЕТАС» [6].
4 Осуществлена обработка полученных результатов с выявлением анома-
лий химических элементов, проявленных в Рудноалтайском и Калбинском ре-
гионах с привязкой их к конкретным геологическим или техногенным объектам 
[7].
На  начальной  стадии  исследований  был  осуществлен  сбор  и  обобщение 
имеющейся информации по геохимии рыхлых отложений, месторождений по-
лезных ископаемых и техногенных объектов Рудного Алтая и Калбы, как гео-
химически разнопрофильных эталонных регионов с наиболее интенсивно раз-
витым горно-добывающим производством. Локализация в пределах данных тер-
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 120-127 
                ISSN 1683-1667 

122
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
риторий множества месторождений полезных ископаемых различного масштаба 
и формационной принадлежности определяет выбор их как объектов исследова-
ния [8].
Вторым  этапом  исследований  явились  экспедиционные  исследования,  в 
ходе  которых  было  проведено  геохимическое  картирование  по  рыхлым  отло-
жениям  в  пределах  Рудноалтайской,  Калба-Нарымской  и  Западно-Калбинской 
структурно-металлогенических зон в масштабе 1:500 000 с отбором литохими-
ческих  проб  по  вторичным  ореолам.  В  ходе  полевых  исследований,  авторами 
опробовались почвы из закопуш на глубину до 20 сантиметров по ориентиро-
вочной  сети  5х5  километров.  Отбор  проб  почв  и  грунтов  проводился  в  соот-
ветствии с ГОСТ 28168. Привязка точек опробования осуществлялась с помо-
щью GPS навигатора GARMIN. В итоге было отобрано 777 почвенных проб на 
обследованной территории площадью свыше 40 тысяч квадратных километров.
Рисунок 1 – Схема опробования по рыхлым отложениям в пределах Калбы, Приирты-
шья и Рудного Алтая
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

123
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
В результате была построена (рисунок 1) схема опробования (карта фак-
тов), увязанная в единую геоинформационную систему с данными лаборатор-
ных исследований. 
Математическая модель. Для исследований была выбрана одна из выде-
ленных аномалий. 
 Рассмотрим задачу, когда источник аномалии оценивается плоской моде-
лью – интегральным уравнением с ядром Пуассона
 
min
max
( )
( , , ) ( , )
( , ),
b
a
A z
K x y s z y s ds u x y y
y y
=
=
≤ ≤
∫
  
(1)
( , )
( , ) 0,
( , )
( , ) 0.
z y a
z y b
z c x
z d y
=
=
=
=
  
(2)
где 
min
max
min
max
,
,
,
a x
b x
c y
d y
=
=
=
=
. 
2
2
( , , )
(
)
h
K x y s
x s
h
π
=
−
+
.
где 
( , )
u x y
 – поле на дневной поверхности 
(
0)
y =
, а 
( , )
z y s
 – поле на уровне 
h
 
ниже поверхности земли, также представляет собой некорректную задачу.
Экспериментальные данные представлены в координатах Гаусса – Крюге-
ра (Пулково 1942 г.). Для численного решения переходим к безразмерным коор-
динатам 
7
/10
x x
=
, 
7
/10
y y
=
, 
( , )
( , ) /100
u x y
u x y
=
.
Проведен  вычислительный  эксперимент  для  обработки  и  анализа  полу-
ченных результатов с выявлением аномалий лития, проявленных в исследуемых 
регионах. 
В  качестве  входных  данных  использовалась  информация  по  геохимии  и 
минералогии рыхлых отложений, месторождений полезных ископаемых Рудно-
го Алтая и Калбы:
min
max
min
max
1,4500,
1,472612,
0,535822,
0,564762,
0,05
x
x
y
y
h
=
=
=
=
=
. 
Заменим интегральное уравнение суммой по формуле прямоугольников
1
( , , ) ( , )
( , )
n
i
j
l
j
l
i
j
l
K x y s z y s s u x y
=
∆ =
∑
, 
1, ,
1,
i
n j
m
=
=
.  
(3)
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 120-127 
                ISSN 1683-1667 

124
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
где 
max
min
(
) /
s
x
x
n
∆ =
−
. 
Уравнение (3) запишем в виде СЛАУ
Az f
=
  
(4) 
где 
A
 – квадратная матрица.
1,
1,
{ }
il i
n
l
n
A
a
=
=
=
, 
2
2
(
)
il
i
l
h s
a
x s
h
π
⋅ ∆
=
−
+
,
Соответственно вектор неизвестных и правая часть 
1,
{ ( , )}
l
l
n
z
z y s
=
=
, 
1,
{ ( , )}
i
i n
f
u x y
=
=
.
Основной  особенностью  системы  (4)  являются:  а)  большая  размерность 
300 1000
n =
−
, 
500 1500
m =
−
, б) сильная разреженность матрицы 
A
 и правая  
части 
f
, в) плохая обусловленность.
Поэтому согласно [9] для численного решения уравнения (4) используем 
метод регуляризации М. Лаврентьева 
(
)
E A z f
µ
+
=
.  
(5) 
Для численной реализации поставленной задачи используем метод итера-
ции Ландвебера
 
1
k
k
k
z
z
Az
f
τ
+
−
+
=
. 
В ходе численного эксперимента были заданы следующие параметры: па-
раметр регуляризации М. Лаврентьева 
0,5
µ
=
, точность решения 
6
10
ε
−
=
, глу- 
бина 
0,05
h =
, количество слоев 
135
n =
 по оси 
x
и 
165
m =
 по оси 
y
, при этом  
было получено решение с требуемой точностью 
ε
, количеством итерации 1157 
и количеством машинного времени 11,17 сек. 
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

125
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
Рисунок 2 – Характер распределения аномалий Na на дневной поверхности, получен-
ный с помощью графического редактора Surfer
Рисунок 3 – Характер распределения аномалий Na на глубине h=500 численно реали-
зованный методом итерации Ландвебера с регуляризацией Лаврентьева, полученный с 
помощью графического редактора Surfer
Л.Н. ТЕМИРБЕКОВА, Н. ШАХИБАДИНҚЫЗЫ, М.У. ШАМЕТОВ. 1 (69) 2016. С. 120-127 
                ISSN 1683-1667 

126
Тоқсанына бір рет шығарылады
  
 
 
 
         
Шығыстың аймақтық хабаршысы
Цифровая  поверхность,  построенная  графическим  редактором  Surfer  ха-
рактера распределения аномалий Na на дневной поверхности по данным, кото-
рые были собраны в ходе полевых и лабораторных исследований показана на 
рисунке 2. На рисунке 3 построена цифровая поверхность графическим редакто-
ром Surfer характера распределения аномалий Na на глубине h по данным, кото-
рые были получены численным методом итерации Ландвебера с регуляризацией 
Лаврентьева. В таблице 1 указаны некоторые данные, по которым были постро-
ены цифровые данные на дневной поверхности и на глубине h. 
Построенная  математическая  модель,  алгоритм  численного  решения  по-
зволяют по данным участкам спрогнозировать поведение Na на глубину. Это по-
зволит определить перспективы установленных аномальных площадей и выде-
лить участки первой очереди для проведения геолого-разведочных работ. 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.  Геология  СССР.  Т.  41.  Восточный  Казахстан  /  Под  ред.  В.П.  Нехорошева, 
Ш.Е. Есенова. – М.: Недра, 1967. – Ч. 1. – 467 с.; 1974. – Ч. 2. – 396 с.
2.  Щерба Г.Н. Большой Алтай (геология и металлогения) в 3 книгах / Г.Н. Щерба 
[и др.]. – Алматы: Ғылым, 1998. – 2002.
3.  Дьячков  Б.А.  Интрузивный  магматизм  и  металлогения  Восточной  Калбы  / 
Б.А. Дьячков. – М.: Недра, 1972. – 211 с.
4.  Гавриленко  О.Д.  Геохимическое  картирование  как  основа  экологического 
районирования  урбанизированных  территорий  (на  примере  Восточного  Казахстана)  / 
О.Д. Гавриленко [и др.]. // Тезисы докладов междунар. Симпозиума по прикладной гео-
химии Стран СНГ. – М., 1997.
5.  Олейникова  Г.А.  Геоинформационный  ресурс  анализа  нанофракций  горных 
пород / Г.А. Олейникова, Е.Г. Панова // Литосфера. – 2011. – №1. – С. 83-93.
6.  Махонина С.А. Геохимическое картирование при поисках и разведке рудных 
месторождений в Лениногорском рудном районе // Современные информационные тех-
нологии в геологоразведочной и горнодобывающей областях: Междунар. науч. конф. / 
С.А. Махонина [и др.]. – Усть-Каменогорск, 2006. – С. 53-55.
7.  Ганженко Г.Д. Геолого-экологическая оценка техногенных ресурсов редко ме-
тального производства Восточного Казахстана / Г.Д. Ганженко [и др.] // Отчет о научно-
исследовательской работе. – Усть-Каменогорск, 2001.
8.  Аристов В.В. Методика геохимических поисков твердых полезных ископае-
мых / В.В. Аристов. – М.: Недра, 1984. – 200 с.
9.  Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. – Ново-
сибирск: Сибирское научное издательство, 2009. – 457 с.
REFERENCES
1.  Pod  red.  V.P.  Nehorosheva,  Sh.E.  Esenova,  M.  Nekdra.  Geologija  SSSR.  T.  41. 
Vostochnyj Kazahstan. 1967. Ch. 1, 467, 1974, Ch. 2. 396 (in Russ).
2. Shherba G.N., Bespaev H.A., D’jachkov B.A., Mysnik A.M., Ganzhenko G.D., Sa-
ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МЕДИЦИНА

127
Региональный вестник Востока
  
 
 
 
 
        
Выпускается ежеквартально
pargaliev E.M., Gavrilenko O.D. i dr., Bol’shoj Altaj. geologija i metallogenija. v 3 knigah. 
Almaty, Qylym, 1998, 2002 (in Russ).
3. D’jachkov B.A., Intruzivnyj magmatizm i metallogenija Vostochnoj Kalby. M., Ne-
dra, 1972, 211 (in Russ).
4. Gavrilenko O.D., Demchenko A.I., Soljanik V.P., Kozlovskij M.K., Geohimicheskoe 
kartirovanie kak osnova jekologicheskogo rajonirovanija urbanizirovannyh territorij na prim-
ere Vostochnogo Kazahstana. Tezisy dokladov mezhdunar. Simpoziuma po prikladnoj geohimii 
Stran SNG. M., 1997 (in Russ).
5.  Olejnikova  G.A.  ,  Panova  E.G.,  Geoinformacionnyj  resurs  analiza  nanofrakcij 
gornyh porod. Litosfera, 2011, 1, 83, 93 (in Russ).
6.  Mahonina  S.A.,  Olejnik  Ju.F.,  Gavrilenko  O.D.,  Geohimicheskoe  kartirovanie  pri 
poiskah i razvedke rudnyh mestorozhdenij v Leninogorskom rudnom rajone. Sovremennye in-
formacionnye tehnologii v geologorazvedochnoj i gornodobyvajushhej oblastjah. Mezhdunar. 
nauch. konf., g. Ust’-Kamenogorsk, 2006, 53, 55 (in Russ).
7. Ganzhenko G.D., Gavrilenko O.D. i dr., Geologo jekologicheskaja ocenka tehno-
gennyh resursov redko metal’nogo proizvodstva Vostochnogo Kazahstana. Otchet o nauchno 
issledovatel’skoj rabote. Ust’-Kamenogorsk, 2001 (in Russ).
8.  Aristov V.V.,  Metodika  geohimicheskih  poiskov  tverdyh  poleznyh  iskopaemyh.  M. 
Nedra, 1984, 200 (in Russ).
9. Kabanihin S.I., Obratnye i nekorrektnye zadachi. Sibirskoe nauchnoe izdatel’stvo, 
Novosibirsk, 2009, 457 (in Russ).
ӘОЖ 37.01:54

жүктеу/скачать 5,27 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: