3.3. Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке [ ; ].
Решение. Для n = 1 отрезок «вырождается» в точку, а утверждение, очевидно, верно. Далее рассматриваем n > 1. Пусть k – количество делителей числа n.
Оценка сверху. Количество собственных делителей равно k – 2 и каждый из них не превосходит . Значит, сумма всех делителей не больше, чем = . Следовательно, их среднее арифметическое не превосходит = .
Оценка снизу. Пусть и , тогда из неравенства между средними . Если число n не является квадратом, то все его делители разбиваются на такие пары. Записав для каждой пары аналогичные неравенства и сложив их, получим: . Если же n – квадрат натурального числа, то к последнему неравенству с обеих сторон добавляется и оно остается верным. Таким образом, для всех натуральных n выполняется неравенство .
Существуют и другие способы оценки, например, для оценки сверху можно применить метод Штурма.
Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)
4.1. Известно, что a = x + y + ; b = y + z + ; c = z + x + , где x > 0, y > 0, z > 0. Докажите, что a + b + > c.
Рис. 5
Решение. Отметим на плоскости произвольную точку О и отложим отрезки OA = , OB = , OC = , так, чтобы ÐAOB = ÐBOC = ÐCOA = 120° (см. рис. 5). Тогда, по теореме косинусов, точки A, B и C образуют треугольник со сторонами , и , причем точка О находится внутри треугольника АВС. Значит, каждый угол этого треугольника меньше, чем 120°.
Тогда, учитывая, что функция косинус убывает на , получим: a + b + = > = = c, что и требовалось.
Отметим, что О – точка Торричелли треугольника АВС.
Рис. 6а
4.2. В выпуклом четырехугольнике АВСD точка K – середина стороны ВС, а площадь треугольника AKD равна половине площади АВСD. Найдите длину медианы КЕ треугольника AKD, если AB = a, CD = b.
Достарыңызбен бөлісу: |
