Ответ: КЕ = .
Решение. Докажем, что АВСD – трапеция с основаниями АВ и CD. Пусть это не так, тогда через точки A и D проведем прямые, параллельные КЕ, до их пересечения с прямой ВС в точках B’ и C’ соответственно (см. рис. 6а). Тогда AB’C’D – трапеция, а КЕ – ее средняя линия (по теореме Фалеса).
Рис. 6б
При этом, площадь , а = , где h – высота трапеции (см. рис. 6б). Таким образом, площади АВСD и AB’C’D равны. Учитывая, что K – общая середина отрезков ВС и B’C’, получим, что эти четырехугольники совпадают. Значит, КЕ = = .
4.3. Можно ли на числовой прямой расположить три отрезка чётной длины так, чтобы общие части каждых двух из них были отрезками нечётной длины?
Ответ: нельзя.
Решение. Пусть отрезки расположены согласно условию. Проведем ось так, чтобы концы всех трех отрезков попали на точки с целочисленными координатами. Это возможно. Действительно, если у первого отрезка координата левого конца целая, то и координата правого конца также целая (в противном случае его можно «сдвинуть»). При этом, если хотя бы левый конец второго отрезка имеет дробную координату, то пересечение первых двух отрезков имеет нецелую длину – противоречие. Аналогичное рассуждение показывает, что и концы третьего отрезка – целые числа.
Из условия задачи следует, что у каких-то двух отрезков координаты концов будут иметь одинаковую чётность, тогда их пересечение – отрезок чётной длины. Полученное противоречие показывает невозможность требуемого расположения.
Пятый тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)
5.1. Число p - корень кубического уравнения . Придумайте кубическое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет число p2.
Достарыңызбен бөлісу: |
