5.2. Через произвольную точку K диаметра АВокружности проведена хорда CD, которая образует с АВ угол 45°. Докажите, что величина KC2 + KD2 не зависит от выбора точки K.
Рис. 7а
Решение. Первый способ. Пусть отрезок C'D’ симметричен хорде CDотносительно прямой AB. Тогда CC'DD' – равнобокая трапеция, вписанная в данную окружность, диагонали которой взаимно перпендикулярны (см. рис. 7а). По свойству вписанного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями: CD2 + C’D’2 = 4R2, где R – радиус окружности. Так как CD' = C'D, то KC2 + KD2 = KC2 + KD’2 = CD’2 = 2R2, то есть эта величина не зависит от выбора точки K.
Второй способ. Пусть ОН – перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду CD, длина которого равна h (см. рис.7б). Тогда треугольник OKH – прямоугольный и равнобедренный, поэтому HK = OH = h Так как HC2 = HD2 = R2– h2, где R – радиус окружности, то KC2 + KD2 = (HC – HK)2 + (HD + HK)2 = 2HC2 + 2HK2 = 2(R2 – h2) + 2h2 = 2R2, то есть эта величина зависит только от размера окружности.
