Ответ: обязательно.
Решение. Первый способ. На рис. 3 – доска размером 8´8, на которой цветом выделены 9 квадратов размером 2´2 так, что никакие два из них нельзя «испортить» одним прямоугольником размером 2´1.. Следовательно, после выпиливания восьми таких прямоугольников, хотя бы один квадрат останется нетронутым и его можно будет выпилить.
Второй способ. Из квадрата размером 8´8 можно вырезать 7´7 = 49 разных квадратов размером 2´2. Один вырезанный прямоугольник 2´1 делает недоступными для последующего вырезания не больше, чем шесть квадратов. Значит, после выпиливания восьми прямоугольников недоступными окажутся не более, чем 8´6 = 48 квадратов. Следовательно, хотя бы один квадрат можно будет выпилить.
Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов)
3.1. Для всех действительных x и y выполняется равенство . Найдите f(–1).
Ответ: f(–1) = 0.
Решение. При x = 0, y = 0 получим: f(0) = f(0) + f(0), то есть f(0) = 0.
При x = 0, y = –1 получим: f(–1) = f(0) + f(1), то есть f(–1) = f(1).
При x = –1, y = –1 получим: f(0) = f(–1) + f(1). Тогда 0 = f(–1) + f(–1), то есть f(–1) = 0.
Рис. 4
3.2. Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трех окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны. Докажите, что , где r – радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС и одну из указанных окружностей, которая проходит через вершину В и касается стороны АС в точке D (см. рис. 4). Ее диаметр не меньше, чем хорда BD, которая, в свою очередь, не меньше, чем высота ВН треугольника.
Таким образом, , где – высоты треугольника. Осталось воспользоваться равенством , в справедливости которого легко убедиться, умножив обе части этого равенства на 2SABC.
Достарыңызбен бөлісу: |
