Решение уравнения теплопроводности стержня с квадратным сечением разностным методом
Разработка вычислительного алгоритма
жүктеу/скачать 172,15 Kb.
|
Разностный метод-Теплопроводность
- Бұл бет үшін навигация:
- Численное решение задач при конкретных исходных данных.
- Сведения об авторах
| 3. Разработка вычислительного алгоритма
Покроем область D равномерной сеткой с шагами ∆x, ∆y и ∆z по осям x, y и z соответственно. Запишем следующую разностную аппроксимацию уравнения (2) , (5) Здесь ∆t – шаг по времени, индекс n – по времени, ∆x–шаг вдоль оси Ox, ∆y–шаг вдоль оси Oy, ∆z–шаг вдоль оси Oz, индексы i, j, k – по координатам x, y и z соответственно. В выражении (5) все слагаемые записываются для n-го временного шага и лишь одно – для (n+1)-го [8]. Поэтому для внутренних точек сетки выразим значение температуры на следующем временном шаге через значения на предыдущем , (6) Предлагается следующий итерационный алгоритм решения: 1. , n = 0. = 0 для всех внутренних точек в области D, , (7) где , для всех точек на границе Г. 2. По формуле (6) вычисляем значения во внутренних точках области D. 3. Если критерий выполняется, то t = t + ∆t, n= n + 1, переход на шаг 2, иначе итерационный процесс завершен [9-10]. При выполнении расчетов необходимо провести исследование устойчивости разностной схемы (3), а именно проверить условие [11]. . (8) Численное решение задач при конкретных исходных данных. Разработана программа нахождения распространения температуры по стрежню, которая помещает результаты численных расчетов в несколько файлов. Результаты численных расчетов в динамике (по времени) отображаются в виде одномерных и двумерных графиков. Расчеты проведены при следующих исходных данных: nx =10; ny= 6; nz= 6; , , ; ; На рисунках 2-7 представлены в графическом виде результаы экспериментальных расчетов. На рисунке 2 представлен график распространения температуры по центру стержня в направлении Х от начала координат в динамике. Ввиду большого перепада температуры от 0 до 200 градусов на рисунке 3 представлен 2 график распространения температуры по центру стержня в направлении Х с отступом в один шаг от начала координат в динамике. Как видно из рисунка 3 температура по центру стержня на конце возрастает от 0 до 5 градусов за 100 секунд. На рисунке 4 представлен график распространения температуры по центру стержня на левом конце (начало координат) по оси Y. По краям стержня температура возрастает от 0 до 29.65 градусов за 100 секунд. На рисунке 5 представлен график распространения температуры по центру стержня в направлении осей Х и Y за время Т = 40 секунд. На рисунке 6 представлен график распространения температуры по центру стержня в направлении осей Х и Y с отступом в один шаг от начала координат за время Т=40 секунд. Как видно из рисунка температура правого конца практически не выросла. На рисунке 7 представлен график распространения температуры по центру стержня в направлении осей Х и Y с отступом в один шаг от начала координат за время Т=100 секунд. Как видно из рисунка температура правого конца достигла 5 градусов. Рисунок 2. График распространения температуры по центру стержня в направлении Х от начала координат Рисунок 3. График распространения температуры по центру стержня в направлении Х с отступом в один шаг от начала координат Рисунок 4. График распространения температуры по центру стержня в направлении Y Рисунок 5. График распространения температуры по центру стержня в направлении осей Х и Y от начала координат Рисунок 6. График распространения температуры по центру стержня в направлении осей Х и Y с отступом в один шаг от начала координат за время Т=40 секунд Рисунок 7. График распространения температуры по центру стержня в направлении осей Х и Y с отступом в один шаг от начала координат за время Т=100 секунд Выводы Для исследования уравнения теплопроводности стержня с квадратным сечением разработана разностная схема и предложен алгоритмы решения поставленной задачи. Для разностной схемы выбраны параметры, обеспечивающие ее устойчивость. Результаты численных расчетов соответствуют принципу максимума (Теорема 1) и не противоречат экспериментальным данным [12]. Дополнительно результаты выводятся в текстовые файлы и обеспечивают построение одномерных и двумерных изображений динамики температуры с помощью системы MatLab, для которого написана соответствующая программа [13]. Перспективным направлением видится применение интервальной математики для исследования уравнения теплопроводности [14-15]. Работа выполнена за счет средств программно-целевого финансирования научных исследований на 2021-2022 годы по проекту ИРН OR11465437 «Разработка национального электронного банка данных по научной зоологической коллекции Республики Казахстан, обеспечивающего их эффективное использование в науке и образовании». Литература 1. Карпович Д.С., Суша О.Н., Коровкина Н.П., Кобринец В.П. Аналитический и численный методы решения уравнения теплопроводности //Труды БГТУ. Физико-математические науки и информатика, 2015, № 6. с.122-127 2. Байков В.А. Уравнения математической физики. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 252с. 3. Вороненко Б.А., Крысин А.Г., Пеленко В.В., Цуранов О.А. Аналитическое описание процесса нестационарной теплопроводности. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2014. – 48 с 4. Тихомиров В.В., Бобылева О.Н. О регуляризации обратной задачи для уравнения теплопроводности // Современные информационные технологии и ИТ-образование, 2017 Том 13 № 1, с.25-29 5. Табаринцева Е.В., Менихес Л.Д., Дрозин А.Д. О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом квазиобращения //Вестник ЮрГУ, Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 6, 2012, № 11, с. 8-13 6. Табаринцева Е.В. О решении некорректно поставленной задачи для нелинейного дифференциального уравнения методом проекционной регуляризации //Вестник ЮрГУ, Серия «Математика. Механика. Физика», 2013, том 5, № 2, с. 65-71 7. Зайнулов А.Р. Обратные задачи для уравнения теплопроводности //Вестник СамГУ, 2015, № 6, с. 62-75 8. Марданов Р.Ф. Численные методы решения плоской задачи теплопроводности. - Казань: Казанский гос. университет, 2007. – 23с 9. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. — М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с 10. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. — М.: Изд-во ЛКИ, 2009. - 480 с 11. Фаязов К.С., Хажиев И.З. Оценка устойчивости и приближенное решение краевой задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка //Математические заметки СВФУ, 2015. Том 22, № 1. с.78-88 12. Сиковский Д. Ф. Методы вычислительной теплофизики. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2013.- 98 с. 13. Дьяконов В.П. Matlab 6.0/6.1/6.5/6.5+SP1+Simulink 5/5. Обработка сигналов и изображений. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005. – 592 с. 14. Mazakov T., Wójcik W., Jomartova Sh., Karymsakova N., Ziyatbekova G., Tursynbai A. The Stability Interval of the Set of Linear System // INTL Journal of Electronics and Telecommunications. – 2021. – Vol. 67, N. 2. – P.155-161. DOI: 10.24425/ijet.2021.135958 15. Nurdaulet, I., Talgat, M., Orken, M., Ziyatbekova, G. Application of fuzzy and interval analysis to the study of the prediction and control model of the epidemiologic situation // Journal of Theoretical and Applied Information Technology, Pakistan, 2018. – Vol. 96, - Issue 14, – рр. 4358-4368. Сведения об авторах Мазаков Талгат Жакупович – доктор физ.-мат. наук, профессор КазНУ имени аль-Фараби, ГНС Института информационных и вычислительных технологий МОН РК Калимолдаев Максат Нурадилович – доктор физ.-мат. наук, профессор КазНУ имени аль-Фараби, ГНС Института информационных и вычислительных технологий Джомартова Шолпан Абдразаковна - доктор технических наук, доцент КазНУ имени аль-Фараби Бегалиева Каламкас Балтабековна – докторант КазНУ имени аль-Фараби Саметова Айгерим Айдаркызы – докторант КазНУ имени аль-Фараби Мазакова Айгерим Талгатовна – докторант КазНУ имени аль-Фараби жүктеу/скачать 172,15 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|