Теорема. Бүкіл рационал сандардың ішінде квадраты екіге тең болатын рационал сан болмайды. Дәлелдеу

Бұдан q² саны және q –дің өзі де жұп сан деген қорытындыға келеміз. p,q-жұп сандар болатын болса, онда – қысқартылатын бөлшек болып шығады, басқаша айтқанда, p мен q-дің ортақ бөлгіші бар деген сөз. Ал бұл біздің бастапқыда p мен q-дің ортақ бөлгіші жоқ деп өзіміз жасаған ұйғарымға қайшы. Міне, осы қайшылық теореманың дұрыстығын дәлелдейді. Бұл теоремаға геометриялық мағына беруге болады: егер қабырғасының ұзындығы бірге тең квадраты салатын болсақ, оның диагоналының ұзындығын өрнектейтін сан рационал сан болмайды. Сонымен таңбамен өрнектелетін сан рационал сан емес. Бұл арадан рационал сандар өрісін кеңейту мәселесінің қажеттілігі өзінен-өзі шығады.

Сан түзуінің бойынан бір-бірімен қабысып жатқан, ұштары рационал сандар болатын кесінділер , ,…,,… алынса және нөмірлері және n ылғи өсіп отырып, шексіздікке ұмтылғанда кесінділердің ұзындықтары нөлге ұмтылса, онда n қандай сан болса да, кесінділердің бәріне бірдей ортақ жатқан тек бір Е нүктесі табылады, яғни .

Міне осы Е нүктесін нақты сан деп атайды. Е рационал не иррационал сан болуы мүмкін.

Иррационал санды шексіз периодсыз ондық бөлшек түрінде енгізу (Вейерштрасс бойынша)

Иррационал сан деп қандай санды атайды? Бұл сұраққа жауап беру үшін мына символмен өрнектелетін санды қарастырайық.

Әрбір рационал сан шектелген немесе шектеусіз периодты ондық бөлшек түрінде жазылады. Ал санды ондай бөлшекпен жазылмайды. Бұл санға жақын келетін рационал сандар бар, мәселен

1²=1<2<2²=4;

(1,4)=1,96<2<(1,5)²=2,25;

(1,41)²=1,9881<2<(1,42)²=2,0264;

(1,414)²=1,999396<2<(1,415)²=2,002225;

(1,4142)²=1,9999164<2<(1,4143)²=2,00024443;

………………………………………………..

міне, осы процесті әрі қарай шектеусіз жалғастыра беруге болады.

Байқасақ, санға жуық келетін рационал сандар периодсыз шектеусіз ондық бөлшектер екен. Бұл жөнінде мынадай пікірді айтуға болады: түзу бойындағы рационал санға сәйкес келмейтін М нүктесі мына түрдегі периодсыз ондық бөлшектің геометриялық кескіні болып табылады.