Теория и методика обучения математике
жүктеу/скачать 5,92 Mb. Pdf көрінісі
|
| М а т ем а т и чес ки м предложением назы ваю т повество
вательное п редлож ен и е, которое в ы р аж ает суж дение о м атем ати ч ески х об ъ ектах. М нож ество м атем ати ч ески х п р ед л о ж ен и й , о п и сы ваю щ и х к ак у ю -то с тр у к ту р у и ли к акой -то акси ом ати зи руем ы й класс структур, образует м ат ем ат ическую теорию. В ш кольном курсе м атем атики учащ и хся зн аком ят с аксиом атическим методом построе ния теорий. Л огическая структура такого построения за клю чается в следующем: 1. Вы деляю тся неопределяемые п он яти я теории. Одно понятие определяется через другое, но процесс определе н и я п о н яти я через другие не мож ет бесконечно продол ж аться. Поэтому для построения теории выбираю т исход ные понятия и их называю т неопределяемыми понят иям и. Эти понятия описываю тся аксиом ами. Аксиом а — м атем а тическое предлож ение, которое приним ается без д оказа тельства в рам ках данной теории. За аксиому изначально принимали очевидные утверж дения. Построение математи ческой научной теории предполагает выделение конечной системы аксиомы, обладающ ей свойствами непротиворе чивости, полноты и независимости. 2. Все новые м атем ати чески е п о н яти я, теории опре деляю тся непосредственно или опосредованно через н е определяемые п он яти я, а остальны е — через уж е опреде ленные или неопределяемые и определенные понятия и т. д. Новые определения понятий включают лиш ь логически независим ы е свойства п о н я ти я (основное содерж ание). 127 О стальные свойства логически зависимы от основного со д ер ж ан и я и вы водятся из него. О тнош ения меж ду п о н яти ям и вы раж аю т м атем атические предлож ения. 3. Все предлож ения теории, кроме аксиом , вы водятся логическим путем с использованием законов логики, п р а вил вывода, полож ений теории множ еств. П онятно, что в ш коле учащ им ся эти зн ан и я не даю тся, поэтому изучение м атем атики ведется в рам ках содерж ательной теории (от сутствие законов логики, теории множеств и т. д.). Отметим, что в “Н ач ал ах ” Евклида (около III в. до н.э.) представлены 14 аксиом. Их оказалось недостаточно, чтобы вывести остальны е утверж дения логическим путем (117). Да и очевидность оказалась необязательна д л я аксиом ы , что доказало откры тие неевклидовой геометрии Н. И. Л о бачевским и Я. Б ольяи . Они установили, что заменив 5-й постулат Евклида о параллельны х прямы х его отрицанием, можно чисто логическим путем развить другую геометри ческую теорию. Этот ф акт заставил м атем атиков X IX в. обратить вн и м ан и е на дедукти вн ы й способ построения м атем ати ч ески х теорий. Это повлекло за собой в о зн и к новение связан ной с самим понятием аксиом атического метода ф ормальной (аксиоматической) теории, на основе которой выросла теория доказательств (122). А ксиом ати к а, традиционно и зу ч аем ая в ш коле, бы ла разработана Д. Г и л ь б ер то м и о п и с а н а в “О сн о в а н и я х г е о м е т р и и ” (1899 г.). А кси ом ати ка вклю чает пять групп аксиом (118). П ринадлеж ность предлож ения к некоторой м атем ати ческой теории определяется двумя признакам и (7): • предлож ение сформулировано или записано на язы ке данной теории, состоит из м атем атических и логических (при н адлеж ащ и х я зы к у теории) терминов или символов и не содерж ит н и к ак и х других терминов или символов; • предлож ение истинно в силу того, что оно является исходным истинны м предлож ением в данной теории (ак сиомой), или его истинность доказы вается (использую тся исходные или ранее доказанны е истинные предлож ения). Н априм ер, рассмотрим математическое предложение: “Сумма углов треугольника равна 180°” . Данное предлож е ние а) общеутвердительное, геометрическое, принадлеж ит теории евклидовой геом етрии, так к а к сф ормулировано 128 на язы к е геометрии (состоит из геометрических терминов: сумма углов, треугольник, 180°, и логических терминов: любой, равна); б) истинно, т. е. до казы вается в р ам к ах евклидовой геометрии. В ф ормулировках часто опускается слово “любой” , хотя этот квантор значим , и предлож ение долж но быть следую щ им : “Сумма углов лю бого т р е у го л ь н и к а р ав н а 180°” . Кванторы играют в матем атике важную роль, они влияю т в определенной мере на выбор способа доказательства, поэто му целесообразно при работе с теоремой обратить внимание учащ ихся на вид суж дения и вы делить кванторны е слова. 5.2. У мозаклю чение. Д едуктивное ум озаклю чение Одной из форм м ы ш лен и я я в л я ется ум озаклю чение, познавательное значение которого особенное. Обучение учащ ихся умозаклю чению и правильны м вы водам является главны м методическим вопросом обучения всех ш кольны х предметов. Здесь существенное значение имеет обучение м атем атике, так к ак при изучении и усвое нии новых материалов на каж дом этапе приходится делать умозаклю чение и выводы. жүктеу/скачать 5,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|