Теория и методика обучения математике
жүктеу/скачать 5,92 Mb. Pdf көрінісі
|
| Косвенное д оказательство у стан авл и вает сп р авед л и
вость тезиса тем, что вскры вает ошибочность противопо лож ного ему допущ ения, антитезиса. П оскольку косвенное доказательство использует о т рицание доказываемого п олож ения, оно явл яется доказа тельством от противного. Н апример, нуж но построить косвенное доказательство весьма тривиального тезиса: “Квадрат не явл яется о к р у ж ностью ” . В ы двигается антитезис: “К вадрат есть о к р у ж ность” . Нетрудно п оказать лож ность этого утверж дения. С этой целью вы водят из него следствия. Если хо тя бы одно из них о каж ется лож ны м , это будет означать, что и само утверж дение, из которого выведено следствие, так ж е лож но. Н еверным явл яется, в частности, такое следствие: “У квадрата нет углов” . П оскольку антитезис лож ен, зн а чит тезис долж ен быть истинны м . В споре при умелом применении такие доказательства могут обладать особенной убедительностью. В зависимости от того, к а к стремятся показать состоя тельность его отри ц ан и я, можно выделить несколько р а з новидностей косвенного доказательства. 1. Следст вия, противоречащие фактам. Ч ащ е всего лож ность антитезиса удается установить простым сопос тавлением вы текаю щ их из него следствий с ф актам и. Н а пример, врач, убеж дая пациента, что тот не болеет гри п пом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, то были бы х ар ак те р н ы е д л я него сим птом ы : головн ая боль, повыш енная температура и т. п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа. 135 2. В н у т р е н н е противоречивые следствия. По логиче скому закону непротиворечивости, одно из двух противо р е ч а щ и х д р у г д р у гу у т в е р ж д е н и й я в л я е т с я л о ж н ы м . Поэтому, если в числе следствий какого-либо полож ения встретились и утверж дение, и отрицание (одного и того ж е), можно сразу ж е заклю чить, что это положение ложно. П римером такого рассуж дения служ и т известное до казательство Е вклида, что ряд простых чисел бесконечен. П ростые — это натуральны е числа больше единицы , д ел я щ иеся только на себя и на единицу. Простые числа — это к а к бы первичны е элементы, на которые все целые числа (больш е 1) могут быть р азлож ен ы . Естественно предпо лож и ть, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... — бес конечен. Д ля доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущ ение. Если ряд просты х чисел конечен, сущ ествует последнее простое число р яд а — А. Образуем далее другое число: В = (2*3*5* ... *А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В долж но делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, . ..,А , то в остатке получится 1. Следовательно, Б не делится ни на одно из указан н ы х простых чисел и я в л я е т ся, таким образом, простым. В итоге, исходя из предлож е ния, что существует последнее простое число, мы приш ли к противоречию: сущ ествует число одновременно и простое, и не являю щ ееся простым. Это означает, что сделанное предполож ение лож но, а противоположное утверж дение правильно: ряд простых чисел бесконечен. В этом косвенном д о казател ьстве из ан ти тези са в ы водится логическое противоречие, что прям о говорит о лож ности ан ти тези са и, соответственно, об истинности тезиса. Такого рода доказательства ш ироко использую тся в м атем атике. 3. И с т и н а логически вы т екает из своего собственного отрицания. Этот прием опирается на закон К лавия: если из предполож ения лож ности утверж дения вы текает его истинность, то утверж дение истинно. По такой схеме рас суж дал еще Евклид в своей “Геометрии” (117). 4. жүктеу/скачать 5,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|