Теория и методика обучения математике
жүктеу/скачать 5,92 Mb. Pdf көрінісі
|
| О ш ибки в о т нош ении тезиса. Д оказательство — это
д ед укти вн ая связь п р и н яты х аргум ентов и выводимого тезиса. Л огические ош ибки в доказательстве могут отно ситься к тезису, аргументам и их связи. Х ар ак тер н ая ош ибка в отнош ении тези са — зам ещ е ние его в ходе доказательства каки м -то другим у твер ж дением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказы вается не то, что требовалось доказать. Тезис м ож ет суж аться, и в таком случае он станет доказан н ы м . Н априм ер, для доказательства того, что сумма углов треугольника равна двум прямы м углам, недостаточно доказать, что их сумма не больше 180°. Тезис может так ж е р асш и ряться. Тогда потребуются дополнительны е основания. И м ож ет о к азать ся , что из них вы текает не только исходны й тези с, но и какое-то иное, уж е неприемлемое утверж дение. Иногда случается полная подмена тезиса, притом она не так редка, к ак это может показаться. О ш ибки в от н о ш ен и и аргум ент ов. Н аиболее частая ош ибка — это попы тка обосновать тезис с помощью л о ж ны х аргументов. Например, известно, что тигры не летаю т. Но рассуж дение: “Только п ти ц ы летаю т; ти гр ы не п ти ц ы ; следо вательно, тигры не летаю т” не явл яется, конечно, д о к аза тельством этого ф акта. В рассуж дении используется не верная посы лка, что способны летать одни птицы . Летают и многие насекомые, и млекопитаю щ ие (например, лету чие мыш и), и самолеты и др. С помощью ж е посы лки “толь ко птицы летаю т” можно вывести не только истинное, но и ложное заклю чение, скаж ем , что м айские ж у к и , посколь ку они не птицы , не летаю т. Д овольно распространенной ошибкой я в л я е т с я круг в доказательстве: справедливость доказы ваем ого поло ж ен и я обосновывается посредством этого ж е полож ения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за основание доказательства приним ается то, что еще н у ж 139 но доказать, обосновываемая мысль вы водится из самой себя, и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу. Н апример, на вопрос: “Почему мы видим через стек ло?” , отвечаем: “Оно прозрачно” . Но назвать вещество про зрачны м — значит сказать, что сквозь него можно видеть. В ш к о л ьн о й п р а к т и к е вопрос о том , на к а к и е з а к о номерности опираю тся при доказательстве утверж дений, к ак вы водятся эти утверж дения на основе известных ранее утверж дений и правил, не раскры вается. Использование правил логического вывода, конечно, приведет к услож нению доказательства и может не соответствовать возраст ным особенностям учащ и хся. Но, однако, к а к показы вает опыт передовых учителей и результаты отдельны х иссле дований, ознакомление учащ ихся с логической структурой доказательств, правилам и логического вывода с помощью простых примеров и специальны х дидакти ческих приемов способствует осознанному усвоению знаний. В аж ной частью обучения учащ и хся доказательству я в л яется осущ ествление процесса доказательства. Ф ормиро вание у учащ и хся умений доказы вать утверж дения такж е явл яется средством формирования у них веры в свои силы. Термин мат ем ат ическое доказат ельст во предусмат ривает доказательство предлож ений в р ам ках какой-либо матем атической теории. Д оказательства м атем атических теорий (теорем, п ра вил, формул и т.д.) являю тся частны м видом общего до казательства. Р азл и ч аю т содерж ат ельные (неф орм альны е) и фор м альны е доказательства, которые прим еняю тся соответ ственно в содерж ательны х (неформальны х или полуфор мальны х) и ф орм альны х м атем атических теориях. В ш к о л ьн о м обучении н еко то р ы е ф р агм ен ты м а те м ати ч еск и х теорий и зл агаю тся неф орм альн о (алгебра, геометрия, анализ). Н апример, курс м атем атики для 5—6 классов излагается, в целом, на содерж ательном уровне, т. е. в нем использую тся обычные рассуж дения, а правила логического вывода не ф иксирую тся. Иной подход к и зло ж ению теории используется в курсе геометрии для 7—11 классов. В систематическом курсе геометрии доказы ваю т ся м атем атические предлож ения — теоремы. 140 5.4. Теоремы , их виды. Обучение доказател ьствам теорем Под теоремой п р и н ято сч и тать м атем ати ч еск о е у т верж дение, истинность которого устанавливается с помо щью доказательства в р ам ках данной теории. С точки зр ен и я л о ги к и теорем а п р ед ставл яет собой вы сказы вание, часто в форме и м п ли кац и и . В ш кольном курсе м атем ати ки встречаю тся теоремы -тож дества и те орем ы -ф ормулы (вы раж ен н ы е язы к о м м атем ати ч ески х символов), теоремы -сущ ествования (отсутствуют условие и заклю чение, но утверж дается сущ ествование объекта, обладающего определенны ми свойствами). Среди теорем, п р ед ставл яем ы х в виде и м п л и к а ц и и , вы д ел яю т т а к и е частны е виды , к а к следствие (доказы вается с помощ ью одной теоремы), лемм а (важ на к а к ступень к д оказатель ству другой теоремы), необходимое и достаточное условие (истинно и прямое, и обратное утверж дение, форма — эк- виваленция). Теоремы с доказательствам и составляю т ядро теории. В курсе геометрии в основном рассм атриваю тся теоремы, которые можно представить в виде и м п ли кац и и . Работа с таким и теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа. Л огико-м атем атический анализ (ЛМА) теоремы вклю чает (4): жүктеу/скачать 5,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|