Учебная программа дисциплины syllabus 1 Данные о преподавателях
Лекция 9. Косвенные измерения
жүктеу/скачать 1,21 Mb.
|
УМК.ТИУ (1)
| Лекция 9.
Косвенные измерения Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи Y = f(х1, х2, . . . ,хn), (2.19) где х1, х2, . . . ,хn - подлежащие прямым измерениям аргументы функции Y. Очевидно, погрешность в оценке Y зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два случая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы. Для независимых аргументов абсолютная погрешность ∆Y = √(∂f / ∂х1)2∆х12 +√(∂f / ∂х2)2∆х22 + . . . √(∂f / ∂х n)2∆хn2 ) относительная δ = ∆Y/Y = √ (∂lnf / ∂x1)2 ∆х12 + (∂lnf / ∂x2)2 ∆х22 . . . + (∂lnf / ∂x n)2 ∆х n2) и СКО функции δY = √ (∂f / ∂x1)2 σх12 + (∂f / ∂x2)2 σх22 . . . + (∂f / ∂x n)2 σх n 2), где частные производные (∂f / ∂x1, ∂f / ∂x2... вычисляются при х1 = х2, х1 = х1, а величины ∆х1, ∆х2 определяют, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения доверительной вероятности. При вводе bi= ∂Y/dxj — абсолютного коэффициента влияния аргумента х в функцию Y ее абсолютная погрешность составит ∆Y = √ b12∆х12 + b22∆х22 + . . . + bn2∆хn2, (2.20) Тогда относительная погрешность определяется как σY = √∑(Вiδi)2, (2.21) где Вi = (∂Y)/(∂xi)· xi / Y - относительный коэффициент влияния. Если в качестве меры точности измерений выступает СКО, то σY = √∑(biσi)2, (2.22) Если аналитические функциональные связи вида (2.19) не установлены, то при разработке методики выполнения измерений можно использовать опытные значения bi, и Вi. bi = ∆Y/∆x1 или Вi= (∂Y)/(∂xi)· xi / Y, (2-23) где ∆Y — изменение функции, вызванное изменением ∆xi i-го аргумента; Y и xi,- средние (расчетные или номинальные) значения функции и аргумента. Окончательный результат записывают в виде Y = Y ±∆Y при вероятности Р. В качестве практических рекомендаций можно использовать следующие положения; - если коэффициенты влияния менее 0,001 (0,1%), то эти параметры можно не учитывать; - для коэффициентов влияния в пределах 0,001...0,050 (0,1... 5%) требования к точности их измерения невелики (2...5%); - если коэффициенты влияния больше 0,05 (5%), то требования к точности информации повышаются до 1% и выше. В случае взаимной зависимости аргументов находят парные коэффициенты корреляции ρxixk = (∑(xl - xl) (xk - xk) / nσ xl σхk), (2.24) Значения ρ лежат в пределах -1 < ρ < +1. При ρ = 0 - величины взаимонезависимы. Однако если ρ = 0, следует проверить значимость этой величины. Для этого используют t — критерий t = (1-ρ2) / √n, (2-25) Если рассчитанное по формуле (2.25) значение 3 t ≤ ρ, то взаимосвязь между параметрами необходимо учитывать. Практически, если ρ < 0,20,...,0,25, то корреляционную связь считают несущественной. При наличии взаимосвязей между х. и х. с учетом уравнений (2.20)-(2.23) σY = √∑(biδi)2 + 2∑b1bkρxixkσxlσxk), (2.26) где = 1, 2, . . . , k, . . . ,n. При числе взаимозависимых аргументов больше двух тесноту связи оценивают частным или множественным коэффициентом корреляции, в основе вычисления которого лежат значения парных коэффициентов корреляции. Например, для трех аргументов х, y и z. Rz,xy = √(ρxy2 + ρyz -2ρxzρyzρxy)/(1- ρxy2). Коэффициент R всегда положителен и заключен между 0 и 1. Если, например, величина z находится в зависимости от х и у как Z = ах + by + с, то влияние величины х на изменение z оценивают частным коэффициентом корреляции Ρу(z,x) =(ρxz - ρyzρxy)/(√(1- ρxy2 )·(1-ρyz2)). Аналогично определяется рх (z, у). Частные коэффициенты корреляции обладают теми же свойствами, что и коэффициенты линейной корреляции. Алгоритм обработки результатов косвенных измерений включает следующие этапы: 1. Для результатов прямых измерений аргументов х вычисляют выборочные средние х = 1/ni∑xik и выборочные стандартные отклонения σxi = √1 / ni(ni -1) ∑(xik –х1)2. 2. Для каждого аргумента вычисляют суммарные систематические погрешности в виде СКО: σ∆i = √σсиi2+ σсубi2 + σокрi2 +. . . , где σсуб, σокр характеризуют разброс результатов из-за субъективных причин, округления и т.п. 3. Находят выборочное среднее функции по т аргументам с учетом коэффициентов влияния Y = ∑bixi 4. Вычисляют стандартные отклонения случайных и систематических составляющих функции σv∆ = √∑(bi σxi)2; σv∆ = √∑(bi σ∆i)2 5. Сравнивают σY∆ и σY∆: а) если σY∆ <<σY∆, то результат записывают в виде Y = Y+∆c при вероятности Р. Здесь, задавшись вероятностью Р, полуинтервал ∆c находят с помощью коэффициентов Чебышева по формуле (2.13) ∆c с= γРσY∆; б) если σY∆ >> σY∆, то результат записывают как Y= Y, при Р = α и σY∆; в) если σY∆ и σY∆ сравнимы, то результат представляют в виде Y= Y, σY∆, σY∆ Доверительные границы результатов косвенных измерений можно оценить и по формулам, аналогичным (2.14) и (2.15), предварительно оценив неисключенную составляющую систематической погрешности косвенного измерения как по каждому аргументу, так и в целом функции. Представление относительной погрешности сложной функции (2.19) в виде δ = ∆Y/Y = ±d[lnY] дает возможность вычислить погрешность функции по известным погрешностям аргументов (прямая задача); оценить допустимые погрешности аргументов, при которых общая погрешность не превысит заданной величины (обратная задача); оптимизировать условия измерений, обоснованно минимизируя суммарную погрешность, заранее установив требования к точности измерения, подобрать соответствующую аппаратуру. Пример. Рассмотрим факторы, влияющие на погрешность определения удельного эффективного расхода топлива ge, который может быть представлен в виде функции величин, измеряемых прямым методом ge =716,2 ·Gτn / Меnττ где G и τ — доза топлива и время ее расхода; nt — постоянная частота вращения двигателя за время τn ее измерения; Ме — крутящий момент на валу двигателя. жүктеу/скачать 1,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|