Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика


Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика



Pdf көрінісі
бет425/527
Дата14.10.2023
өлшемі12,2 Mb.
#114644
1   ...   421   422   423   424   425   426   427   428   ...   527
Байланысты:
TaimanovMatem

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
399 
1-сурет. 
Тік бұрышты үшбұрыштағы бұрыштарды есептеу мына түрге келтіріледі: 
sin(𝜑 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ cos𝛼 − cosφ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼

Тікбұрышты үшбұрыштағы азайту формулаларын, сонан кейін 
𝜑 = 
π
− 𝛽 

екендігін 
ескеріп, мынаны аламыз: 
cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼. 
Алынған екі формуланы 
яғни мына формулаларды кӛбейту арқылы 
sin(𝛽 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 − cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
және 
cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
және қос аргументтің формулаларын пайдалана 
отырып, синустардың айырмасының формуласын аламыз: 
𝑠𝑖𝑛2𝛽 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2 sin(𝛽 + 𝛼) ∙ 
𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼). 
Егер үшбұрыштың бір қабырғасына жүргізілген биіктікті қарастыру арқылы 
кішкене басқаша формуланы алуға болады. Бұл жағдайда: 
2-сурет. Үшбұрыштың бұрыштарын есептеу 
𝑏 = 
𝑕 
cosφ 

𝑐 = 
𝑕 


cosα 2 

∙ 𝑏𝑐 ∙ sin(𝜑 + 𝛼) = 


∙ 𝑏𝑕 ∙ sin 𝜑 + 

∙ 𝑕 ∙ 𝑐 sin 𝛼 
Нәтижесінде алатынымыз 
𝑡𝑔𝜑 + 𝑡𝑔𝛼 = 
sin (φ+α)
cosα∙cosφ 

sin(𝜑 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ cos𝛼 + 
cosφ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝜑 = 
π
− 𝛽 

екендігін ескеріп, мынаны аламыз: 
cos(β − 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 


Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
400 
sin(𝛽 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 + cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
және 
cos(β − 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
кӛбейтетін болсақ, онда қос аргументтің формуласын пайдалана отырып, синустардың 
қосындысының формуласын аламыз [1]: 
𝑠𝑖𝑛2𝛽 + 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2 sin(𝛽 + 𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼). 
Осыған ұқсас 
𝑐𝑜𝑠(𝛽 + 𝛼) 
және 
𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼) 
формулаларын кӛбейтіпғ алатынымыз 
𝑐𝑜𝑠2𝛽 + cos2𝛼 = 2 cos(β + α) ∙ cos(β − 𝛼), 
ал 
sin(𝛽 + 𝛼) 
және 
sin(𝛽 − 𝛼) 
формулаларын 
кӛбейтіп, 
𝑐𝑜𝑠2𝛽 − cos2𝛼 = 2 sin(𝛽 + 𝛼) ∙ 2 sin(𝛽 − 𝛼) 
формуласын аламыз. 
sin(𝛽 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 + cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
және 
sin(𝛽 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 − cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
формулаларын қосу арқылы мына 
формуланы аламыз: 
2𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 = sin(𝛽 + 𝛼) + sin(𝛽 − 𝛼). 
cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
және 
cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
формулаларын қосу арқылы мына формуланы аламыз: 
2cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = cos(β + 𝛼) +cos(β − 𝛼)

ал 
cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 
формулаларын азайту арқылы: 
2𝑠𝑖𝑛β ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = cos(β + 𝛼) −cos(β − 𝛼) 
аламыз. 
𝑠𝑖𝑛
2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 = 1 
тепе-теңдігі тригонометрияның негізгі тепе-теңдігі екендігін 
баршамыз білеміз және ол ол 
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 1 
радиусы бірге тең, яғни бірлік шеңбер теңдеуіне 
сәйкес келеді. Сонымен бірге бірлік шеңбердегі нүктенің координаталары радиустың 
𝛼 
бұрышымен айналу бұрышының синусы мен косинусының мәндері болып табылады (3- 
сурет). 
3-сурет. Бірлік шеңберде синус пен косинусты кӛрсету 
Бұрыштың бастапқы мәні ретінде координаталары (1; 0) болатын нүктесін алған 
ыңғайлы. Ал бұрыш [о
0
; 360
0
] диапазонындағы кез келген мәндерді қабылдауы және 
тригонометриялық функциялардың мәндерінде таңбасы кез келген болуы мүмкін. Оның 
үстіне координаталар 360° сайын қайталанып отыратындықтан, мынадай теңдік 
орындалады: 
𝑠𝑖𝑛𝑎 = sin(𝑎 + 360
°
∙ n) , cosα = cos(α + 360
°
∙ n), 
мұндағы 
п

N. 
Шеңбердегі доғаның ұзындығы центрлік бұрышқа тікелей байланысты 
болғандықтан, бұрышты доғаның ұзындығымен ӛлшеген дұрыс болады. Бірлік шеңбердің 
бойындағы 
𝛼 
бұрышына тірелетін доғаның ұзындығын градуспен ӛлшенгендегі мәні 
мынадай 
болып 
есептелетіні 
түсінікті: 
𝑙= 
2πR 
𝛼 
немесе 
𝑙 = 
πR
𝛼. 
[2]. 
360ᵒ 
180ᵒ 




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   421   422   423   424   425   426   427   428   ...   527




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет