Вестник Казнпу имени Абая, серия «Молодой ученый. Поиски. Проблемы. Исследования», №1(5), 2015 г



жүктеу 1.51 Mb.
Pdf просмотр
бет7/12
Дата03.03.2017
өлшемі1.51 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

РезюмеВ статье, на основе документальных материалов говорится об ослаблении традиционного органа власти 

в казахских степях и о политических изменениях в 20 годах ХІХ веке в Центральном Казахстане. На основе россий-

ской реформы вся территория казахской земли делилась на части, создавались внешние округи. Автор кратко анали-

зирует  реформы  в  казахской  земле  на  основе  административно-территориального  деления.  Так  же  говорится  о 

реформе повлиявшая на политические изменения и о последствиях на жизни местных казахов. 



Резюме: ханство, реформа, округ, колониализм, власть 

 

Summary. In this article, based on documentary material tells about the weakening of traditional authority in the Kazakh 

steppes and political changes in the 20 years of the XIX century, in Central Kazakhstan. On the basis of russian reform the 

entire  territory  of  Kazakh  land  was  divided  into  parts,  create  an  external  neighborhood.  The  author  briefly  analyzes  the 

reforms in the Kazakh land on the basis of administrative-territorial division. Also talk about reform to influence the political 

changes and the impact on the lives of local Kazakhs. 



Keywords: khanate, reform, district, colonialism, power 

 

 



Вестник КазНПУ имени Абая, серия «Молодой ученый. Поиски. Проблемы. Исследования», №1(5), 2015 г. 

40 


 

 

 



 

ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ҒЫЛЫМДАРЫ МӘСЕЛЕСІ 

ВОПРОСЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК 

PROBLEMS OF NATURAL SCIENCES 

 

УДК 517.953 



 

ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА ДЛЯ ОБРАТНОЙ 

ЗАДАЧИ АКУСТИКИ В СЛУЧАЕ ГЛАДКОГО ИСТОЧНИКА 

 

Г.А. Тюлепбердинова – к.ф.-м.н., КазНУ имени аль-Фараби, 

Б.К. Алимбаева – магистрант, КазНУ имени аль-Фараби, 

С.А. Адилжанова – магистрант, КазНУ имени аль-Фараби, 

Л.Ш. Черикбаева – магистрант, КазНУ имени аль-Фараби, 

Ф.С. Телгожаева – магистрант, КазНУ имени аль-Фараби 

 

В этой статье мы рассматриваем одномерное уравнение акустики, которое описывает распространение акустиче-

ских  волн малой амплитуды в  полупространстве с  условиями. Трудно определить одновременно  две  неизвестные 

функции, поэтому приведется постановка обратной задачи определения одной функцией. Введется новые перемен-

ные  и  функции.  Для  удобства  исследования  обратной  задачи  на  дискретном  уровне,  учитывая  вышеуказанный 

переход, мы рассмотрим эквивалентную задачу к  исходной. Далее для решения обратной задачи минимизируется 

целевой функционал и рассматривается дискретный аналог метода наискорейшего спуска, применительно к обрат-

ной  задаче  акустики  в  случае  гладкого  источника.  Выводится  градиент  функционала  в  дифференциальном  и 

дискретном случаях. Описывается алгоритм решения задачи.  

Ключевые  слова:  обратная задача акустики, дискретный аналог,  целевой функционал,  метода наискорей-

шего спуска 

 

1 Постановка задачи 



Рассмотрим одномерное уравнение акустики [1] 

0

,



0

,

)



,

(

1



)

,

(



1

2













t



z

t

z

w

t

z

w

с

z

t

tt



     (1) 

Здесь c(z) > 0 скорость звука, p(z) > 0 плотность, ω(z,t) - давление. Уравнение (1) описывает распро-

странение акустических волн малой амплитуды в полупространстве с условиями 

,

0



|

)

,



(

0





t

t

z

w

     (2) 

,

0

),



(

)

,



0

(





t



t

t

w

z

     (3) 



.

0

),



(

)

,



0

(





t



t

f

t

w

     (4) 

Здесь θ(t)  - гладкая функция. Известно, что  по дополнительной информации  вида (4) одновременно 

трудно  определить  две  функции  c(z),  p(z)  поэтому  приведем  постановку  обратной  задачи  определения 

одной функции. Для этого введем новую переменную и функцию. 

)

(



,

)

(



)

(

1



0

x

z

c

d

z

x

z







 

)



),

(

(



)

,

(



)

,

(



1

t

x

w

t

z

w

t

x

v



 



)),

(

(



)

(

)



(

1

x



z

x

h





 

)).



(

(

)



(

)

(



1

x

c

z

c

x

g



 



Тогда (1)-(4) примет вид 

Абай атындағы ҚазҰПУ-нің Хабаршысы, «Жас ғалым. Ізденістер. Мәселелер. Зерттеулер» сериясы, №1(5), 2015 ж. 

41 


,

0

,



0

),

,



(

)

(



)

(

)



,

(

)



,

(







t

x

t

x

v

x

x

t

x

v

t

x

v

x

xx

tt



     (5) 

,

0



|

)

,



(

0





t

t

x

v

     (6) 

,

0

,



)

,

0



(





t

t

v

x

     (7) 



.

0

),



(

)

,



0

(





t



t

f

t

v

     (8) 

где σ = g(x)h(x) - акустический импенданс, 

)

0



(



с



 

Далее, согласно работе В.Г. Романова [2], сведем уравнение (5) к виду 

),

,

(



)

(

)



,

(

)



,

(

t



x

u

x

q

t

x

u

t

x

u

xx

tt



     (9) 

где 


,

)

(



ln

2

1



exp

)

,



(

)

,



(









x



t

x

v

t

x

u

     (10) 



2



)

(

)



(

4

1



)

(

ln



2

1

)



(









x



x

x

x

q



     (11) 

В дальнейшем для удобства исследования обратной задачи на дискретном уровне, учитывая вышеука-

занный переход, мы рассмотрим следующую задачу [3]. Определим q(x) из соотношений 

0

,

),



,

(

~



)

(

)



,

(

~



)

,

(



~





t



R

x

t

x

u

x

q

t

x

u

t

x

u

xx

tt

     (12) 

,

),

(



)

0

,



(

~

),



(

)

0



,

(

~



1

0

R



x

x

x

u

x

x

u

t





     (13) 

.

0



,

0

)



,

0

(



~

),

(



)

;

,



0

(

~



2





t

t

u

t

q

t

u

t

     (14) 



Рассмотрим эквивалентную обратную задачу: 

0

,



),

,

(



)

(

)



,

(

)



,

(





t

R

x

t

x

u

x

q

t

x

u

t

x

u

xx

tt

     (15) 

,

,

0



)

0

,



(

),

(



)

(

)



(

)

0



,

(

0



0

R

x

x

u

x

x

q

x

x

u

t







     (16) 



.

0

,



0

)

,



0

(

),



(

)

;



,

0

(





t

t

u

t

f

q

t

u

x

     (17) 

Соотношение (15)–(17) следует из (12)-(14), если положить 

.

0



)

(

),



(

)

(



,

~

1



2







t



t

t

f

u

u

tt



 

При использовании оптимизационного метода для решения обратной задачи минимизируется целевой 

функционал, например, вида 



.

)

(



)

;

,



0

(

)



(

0

2





T

dt

t

f

p

t

u

p

J

     (18) 

Обозначение  u(0,t;p)  -  указывает  на  то,  что  u(x,t)  является  решением  прямой  задачи  (15)–(17)  при 

фиксированном р(х). Минимизация функционала J(p) осуществляется методом наискорейшего спуска 

 

,

)



(

)

(



)

(

)



(

)

1



(

n

n

n

n

p

J

x

p

x

p





 

в котором коэффициент спуска 

n

 определяется из условия 







.

0

,



)

(

inf



)

(

)



(

)

(



0

)

(



)

(







n

n

n

n

n

n

n

p

J

p

J

p

J

p

J



 



Здесь 

)

(



)

(n



p

J

- градиент функционала, n - номер итерации. 



 

2 Оптимизационный метод на дифференциальном уровне [4] 

Конкретизируем  постановку  исследуемой  обратной  задачи.  В  области 

]

,



0

[

]



,

0

[



T

L

D



  требуется 

найти функцию q(x) из соотношений 



Вестник КазНПУ имени Абая, серия «Молодой ученый. Поиски. Проблемы. Исследования», №1(5), 2015 г. 

42 


D

t

x

u

x

q

u

u

xx

tt



)

,



(

,

)



(

     (20) 





0



)

0

,



(

),

(



)

0

,



(

x

u

x

q

x

u

t

     (21) 





0



)

,

(



,

0

)



,

0

(



t

L

u

t

u

x

     (22) 

по известной дополнительной информации вида 



 

t

f

q

t

u

;



,

0

     (23) 



Для наглядности рассуждений, мы выбираем прямоугольную область D. 

Нетрудно видеть, что соотношения (20)-(22) легко получить из (15), если положить 

1

)

(



0



x



Пусть р(х) приближенное решение обратной задачи. Как и ранее рассмотрим функционал невязки 





T

dt

t

f

p

t

u

p

J

0

2



)

(

)



;

,

0



(

)

(



     (24) 

Суть  оптимизационного  метода  состоит  в  следующем:  задаем  начальное  приближение 

),

(

)



0

(

x



p

 

последующие приближения определяем из соотношения (19). 



Перейдем к выводу формулы градиента для функционала (24) аналогично как в работах [5,6]. 

Рассмотрим приращение 

)

(

)



(

x

p

x

p



  и 

)

;



,

(

)



;

,

(



p

t

x

u

p

p

t

x

u

u





, тогда для прираще-

ния 


),

,

t



x

u

 пренебрегая малыми величинами второго порядка, получим задачу: 



D

x

pu

p

u

u

u

xx

tt



)



(

,





     (25) 

,

0



,

)

0



,

(





t

u

p

x

u



     (26) 

,

0

)



,

(

,



0

)

,



0

(





t

L

u

t

u

x



     (27) 

Далее, умножим обе части уравнения (25) на функцию ψ(x,t) и, проинтегрируя по области D, получим 







T L

T L

xx

tt

dxdt

u

t

x

dxdt

u

t

x

0 0


0 0

)

,



(

)

,



(



 











T L

T L

dxdt

t

x

t

x

u

x

p

dxdt

x

p

t

x

u

t

x

0 0


0 0

)

,



(

)

,



(

)

(



)

(

)



,

(

)



,

(





     (28) 

Обозначив через 

1

S

,

4



3

2

,



,

S

S

S

 каждое слагаемое последнего соотношения и, применяя интегрирова-

ние по частям для соотношений 

2

1



S

S

получим: 















T L



L

T

t

t

T

t

tt

dx

dt

u

t

x

u

dxdt

u

t

x

S

0 0


0

0

0



1

)

,



(

)

,



(







 

 
















L

T

tt

T

t

T

t

dt

dt

t

x

u

t

x

u

u

0

0



0

0

)



,

(

,



|

|







 


Абай атындағы ҚазҰПУ-нің Хабаршысы, «Жас ғалым. Ізденістер. Мәселелер. Зерттеулер» сериясы, №1(5), 2015 ж. 

43 


       

   

T

x

u

T

x

x

u

x

T

x

u

T

x

t

t

t

L

,

,



0

,

0



,

,

,



0







 



   

   




dx

dt

t

x

u

t

x

x

u

x

T

tt

t



0

,



,

0

.



0

,





 

Учитывая условие (26) и полагая 

 

 


,

0

,



,

0

,





T



x

T

x

t



 имеем 

   


 







T L



T

t

tt

pdx

x

dxdt

t

x

u

t

x

S

0 0


0

1

0



,

,

,





     (29) 

Преобразуем  

 


 













T L

T

L

x

x

L

x

xx

dt

dx

u

t

x

u

dxdt

u

t

x

S

0 0


0

0

0



2

,

|



,







 

   
















T

L

xx

L

x

L

x

dt

dx

t

x

u

t

x

u

u

0

0



0

0

,



,

|







 

       



   





T

x

x

x

t

L

u

t

L

t

u

t

t

L

u

t

L

0

,



,

,

0



,

0

,



,





 

   



   





L



xx

x

dt

dx

t

x

u

t

x

t

u

t

0

,



,

,

0



,

0





 

 

Учитывая условие (27) и, полагая [5] 



 

 


  


,



;

,

0



2

,

0



,

0

,



t

f

p

t

u

t

t

L

x





 

получим 


 

  





dt



t

u

t

f

p

t

u

dtdx

t

x

u

t

x

S

T

T L

xx

)

,



0

(

;



,

0

2



)

,

(



,

0

0 0



2









     (30) 

Далее соотношение 

4

3

S



S

 оставляем без изменения, т.е. 

     

     











T L

T L

dxdt

t

x

t

x

u

x

p

dxdt

x

p

t

x

u

t

x

S

S

0 0


0 0

4

3



,

,

,



,



 



С учетом (29),(30) соотношение (28) примет вид  

Вестник КазНПУ имени Абая, серия «Молодой ученый. Поиски. Проблемы. Исследования», №1(5), 2015 г. 

44 


   

   








dxdt

t

x

u

t

x

dtdx

t

x

u

t

x

T L

xx

T L

tt

,

,



,

,

0 0



0 0



 



  


 



     

     



dxdt

x

p

t

x

u

t

x

dxdt

x

p

t

x

u

t

x

dt

t

u

t

f

p

t

u

T L

T L

T











0 0

0 0


0

,

,



,

,

,



0

;

,



0

2





 

Положим, что 



 

,





x



p

xx

tt



 тогда в последнем соотношении останутся 

  



 



     







T



T L

dtdx

x

p

t

x

u

t

x

dt

t

u

t

f

p

t

u

0

0 0



,

,

,



0

;

,



0

2



 



Левая часть равна приращению функционала 

  


  

,

p



J

p

p

J

p

J





 а правая часть, есть ее 

градиент. Таким образом, градиент функционала, равен [7] 

 

   


dt

t

x

u

t

x

p

J

T

,

,



0



     (31) 



Таким  образом  в  процессе  вывода  формулы  для  вычисление  градиента  функционала  мы  получим 

вспомогательную сопряженную задачу для 

 

t

x,

, которая имеет вид 



 

,





x



p

xx

tt



 

 


D

t

x

,



     (32) 

 


 

,

0



,

,

0



,



T

x

T

x

t



     (33) 

 


  


,



;

,

0



2

,

0



t

f

p

t

u

t

x



     (34) 

 

0

,





t

L

     (35) 



Приведем общую схему оптимизационного метода на дифференциальном уровне

1

 



Задаем начальное приближение 

),

(



)

0

(



x

p

 и решаем прямую задачу (20)-(22), полагая что в ней 

)

(

)



(

)

0



(

x

p

x

q

 и находим 



)).

(

;



,

(

)



0

(

)



0

(

x



p

t

x

u

 

2



 

Вычисляем  значение  функционала  (24),  если  он  достигнет  минимума  то  примем 

)

(

)



0

(

x



p

за 


приближенное решение обратной задачи, если нет, то 

3

 



Вычислим  краевое  условие  (34)  при 

)

(



)

(

)



0

(

x



p

x

p

  и  решая  задачу  (32)-(35),  получим  ее 



решение 

)).


(

;

,



(

)

0



(

)

0



(

x

p

t

x

 



4

 

Вычисляем градиент функционала по формуле (31). 



5

 

По формуле (19) находим очередное приближение 



).

(

)



1

(

x



p

 

6



 

Вновь  вычисляем значение функционала (24), если  он достиг минимума,  то полагая  в качестве 

приближенного  решение, 

)

(



)

(

)



(

x

p

x

p



  если  нет,  то  полагая 

 


 

 


 

x

p

x

p



0

  возвращаемся  к 

пункту 3. 

 

1 Тюлепбердинова Г.А. Сравнения численных результатов обратной задачи акустики. Монография. - Алматы: 



Нұр-Принт, 2013. – 201 стр. 

Абай атындағы ҚазҰПУ-нің Хабаршысы, «Жас ғалым. Ізденістер. Мәселелер. Зерттеулер» сериясы, №1(5), 2015 ж. 

45 


2 Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. - М.: Наука, 1984. - 264 c. 

3  Нурсеитов  Д.Б.,  Кабанихин  С.И.,  Бектемесов  М.А.  Оценка  скорости  сильной  сходимости  метода  итераций 

Ландвебера  для  решения  начально-краевой  задачи  для  уравнения  Лапласа  //  Вестник  КазНПУ:  Серия  «физико-

математические науки» - 2007. - Т. 1.- С. 202-206. 

4 Искаков К.Т. Метод наискорейшего спуска в обратной задаче геоэлектрики // Вестник КазНУ. - 2002. - Т. 2, - 

№30. - С. 79-86. 

5 Кабанихин С И., Искаков К.Т. Обобщенное решение обратной задачи для уравнения колебания // Докл. РАН. - 

2000. - Т. 375, - №1. - С. 22-24. 

6 Кабанихин С.И., Бектемесов М.А., Нурсеитова А.Т. Итерационные методы решения обратных и некоррект-

ных задач с данными на части границы. - Алматы: Международный фонд обратных задач, 2006. - 432 c. 

7 Тюлепбердинова Г.А., Абишева А.Ж. Условная корректность обратной задачи акустики - М., Журнал "Успехи 

современного естествознания": Тематика «физико-математические науки» - 2014. - №3. – С. 175-180. 

 



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12


©emirsaba.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет