Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

77
9.  Как построить график функции 
y
 = 
kf 
(
x
)
  9.
  как построить график 
функции 
y
 = 
kf 
(
x
), если известен 
график функции 
y
 = 
f 
(
x
)
В 8 классе вы ознакомились с функцией y = x
2
 и узнали, что ее 
графиком является фигура, которую называют параболой (рис. 9.1).
Покажем,  как  с  помощью  графика  функции  y = x
2
  построить 
график функции y = ax
2
, где a ≠ 0.
Построим, например, график функции y = 2x
2
.
Составим таблицу значений функций y = x
2
 и y = 2x
2
 при одних 
и тех же значениях аргумента:
x
–3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0
0,5
1 1,5 2
2,5
3
y = x
2
9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
y = 2x
2
18 12,5 8
4,5
2
0,5
0
0,5
2 4,5 8 12,5 18
Эта таблица подсказывает, что каждой точке (x
0
; y
0
) графика 
функции y = x
2
 соответствует единственная точка (x
0
; 2y
0
) графика 
функции y = 2x
2
. А каждая точка (x
1
; y
1
) графика функции y = 2x
2
 
является  соответствующей  единственной  точке  x
y
1
1
2
;



   графика 
функции y = x
2
. Поэтому все точки графика функции y = 2x
2
 можно 
получить, заменив каждую точку графика функции y = x
2
 на точку 
с той же абсциссой и с ординатой, умноженной на 2 (рис. 9.2).
x
y
0
y = x
2
x
y
0
1
1
y = 2x
2
Рис. 9.1
Рис. 9.2

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
78
y = x
2
y =   x
2
1
2
x
y
0
1
1
Рис. 9.3
Используя  график  функции  y = x
2
,  построим  график  функции 
y
x
=
1
2
2
.  
Понятно,  что  все  точки  графика  функции  y
x
=
1
2
2
  можно  по-
лучить, заменив каждую точку графика функции y = x
2
 на точку 
с той же абсциссой и с ординатой, умноженной на 
1
2
 (рис. 9.3).
Рассмотренные примеры подсказывают, как, используя график 
функции y = f (x), можно построить график функции y = kf (x), где 
k > 0.
График функции y = kf (x), где k > 0, можно получить, заменив 
каждую точку графика функции y = f (x) на точку с той же аб-
сциссой и с ординатой, умноженной на k.
На рисунках 9.4, 9.5 показано, как «работает» это правило для 
построения графиков функций  y
x
=
1
3
 и  y
x
=
3
.
Говорят, что график функции y = kf (x) получен из графика функ-
ции y = f (x) в результате растяжения в 
k раз от оси абсцисс, если 
k > 1, или в результате сжатия в 
1
k
 раз к оси абсцисс, если 0 < k < 1.
Так, график функции  y
x
=
3
 получен в результате растяжения 
графика функции y
x
=
1
 в 3 раза от оси абсцисс, а график функции

79
9.  Как построить график функции 
y
 = 
kf 
(
x
)
x
y
0
1
1
x
y =
x
y
3
1
=
x
y
0
1
1
x
y
1
=
x
y
3
=
Рис. 9.4
Рис. 9.5
y
x
=
1
3
 получен в результате сжатия графика функции  y
x
=
 
в 3 раза к оси абсцисс.
Рассмотрим функции y = x
2
 и y = –x
2
. Каждой точке (x
0
; y
0
) графи-
ка функции y = x
2
 соответствует единственная точка (x
0
; –y
0
) графика 
функции y = –x
2
. А каждая точка (x
1
; y
1
) графика функции y = –x
2
 
является  соответствующей  единственной  точке  (x
1
;  –y
1
)  графика 
функции y = x
2
. Поэтому все точки графика функции y = –x
2
 можно 
получить, заменив каждую точку графика функции y = x
2
 на точку 
с той же абсциссой и с ординатой, умноженной на –1 (рис. 9.6).
y = x
2
y = –x
2
x
y
1
1
0
y = x
2
y = –  x
2
1
2
x
y
1
1
0
Рис. 9.6
Рис. 9.7

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
80
Теперь  понятно,  что  правило  построения  графика  функции 
y = kf (x), где k < 0, такое же, как и для случая, когда k > 0.
Например,  на  рисунке  9.7  показано,  как  можно  с  помощью 
графика функции y = x
2
 построить график функции  y
x
= −
1
2
2
.
Рисунок 9.8 иллюстрирует, как с помощью графика функции 
y
x
=
 можно построить графики функций  y
x
= −
1
2
 и  y
x
= −2
.
x
y
0
1
x
y =
x
y
2
1
=
x
y
2
−
=
1
Рис. 9.8
Заметим, что при k ≠ 0 функции y = f (x) и y = kf (x) имеют одни 
и те же нули. Следовательно, графики этих функций пересекают 
ось абсцисс в одних и тех же точках. Этот факт проиллюстрирован 
на рисунке 9.9.
2
1
x
y
0
y = f (x)
y =   f (x)
Рис. 9.9

81
9.  Как построить график функции 
y
 = 
kf 
(
x
)
y = 3x
2
y = 1,5x
2
y = –3x
2
y = –1,5x
2
y = 0,1x
2
y = –0,1x
2
y = –x
2
y =   x
2
1
4
y = –  x
2
1
4
x
y
1
y = x
2
1
0
Рис. 9.10
На рисунке 9.10 изображены графики функций y = ax
2
 при не-
которых  значениях  a.  Каждый  из  этих  графиков,  как  и  график 
функции y = x
2
, называют параболой. Точка (0; 0) является верши-
ной каждой из этих парабол.
Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0, то 
ветви параболы направлены вниз.
Часто вместо высказывания «Дана функция y = ax
2
» употребляют 
высказывание «Дана парабола y = ax
2
».
В таблице приведены свойства функции y = ax
2
, a ≠ 0.
Свойство
a > 0
a < 0
Область определения
(–
×; +×)
(–
×; +×)
Область значений
[0; +
×)
(–
×; 0]
Нули функции
x = 0
x = 0
Промежутки знако-
постоянства
y > 0 на каждом
из промежутков  
(–
×; 0) и (0; +×)
y < 0 на каждом
из промежутков  
(–
×; 0) и (0; +×)
Возрастает на промежутке
[0; +
×)
(–
×; 0]
Убывает на промежутке
(–
×; 0]
[0; +
×)

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
82
1.  Как можно получить график функции 
y
 = 
kf 
(
x
), где 
k
 ≠ 0, используя 
график функции 
y
 = 
f 
(
x
)?
2.  Какая фигура является графиком функции 
y
 = 
ax
2
, где 
a
 ≠ 0?
3.  Какая точка является вершиной параболы 
y
 = 
ax
2
?
4. Как направлены ветви параболы 
y
 = 
ax
2
 при 
a
 > 0? при 
a
 < 0?
5.  Какова область определения функции 
y
 = 
ax
2
, где 
a
 ≠ 0?
6.  Какова область значений функции 
y
 = 
ax
2
 при 
a
 > 0? при 
a
 < 0?
7.  На  каком  промежутке  возрастает,  а  на  каком  промежутке  убывает 
функция
 y
 = 
ax
2
 при 
a
 > 0? при 
a
 < 0?
Упражнения
9.1.° Принадлежит ли графику функции y = –25x
2
 точка:
1) A (2; –100);  
3)  C
−
−




1
5
1
;
;
2) B (–2; 100);   
4) D (–1; 25)?
9.2.°
 В каких координатных четвертях находится график функции 
y = ax
2
 при a > 0? при a < 0?
9.3.°  Не  выполняя  построения,  найдите  координаты  точек  пере-
сечения параболы y = 3x
2
 и прямой:
1) y = 300; 
3) y = –150x;
2) y = 42x; 
4) y = 6 – 3x.
9.4.°
  Не  выполняя  построения,  найдите  координаты  точек  пере-
сечения графиков функций:
1) 
y
x
=
1
3
2
  и  y = 3; 
2)  y
x
=
1
2
2
  и  y = x + 4.
9.5.° При каких значениях a точка A (a; 16) принадлежит графику 
функции y = 4x
2
?
9.6.°
 При каких значениях b точка B (–2; b) принадлежит графику 
функции y = –0,2x
2
?
9.7.° Известно, что точка M (3; –6) принадлежит графику функции 
y = ax
2
. Найдите значение a.
9.8.°
 Известно, что точка K (–5; 10) принадлежит графику функции 
y = ax
2
. Найдите значение a.

83
9.  Как построить график функции 
y
 = 
kf 
(
x
)
9.9.
•
 На рисунке 9.11 изображен график функции y = ax
2
. Найдите 
значение a.
0
4
2
1
x
y
1
–2
–4
2
0
4
1
–4
x
y
1
–1
–1
а
б
Рис. 9.11
9.10.
•
 На рисунке 9.12 изображен график функции y = ax
2
. Найдите 
значение a.
0
1
x
y
1 2
0
3
1
–3
x
y
1
–1
–1
а
б
Рис. 9.12
9.11.
•
  На  рисунке  9.13  изображен  график  функции  y = f (x).  По-
стройте график функции:
1)  y
f x
=
1
2
( );  
2) y = –f (x); 
3) y = –2f (x).
9.12.
•
  На  рисунке  9.14  изображен  график  функции  y = g (x).  По-
стройте график функции:
1)  y
g x
=
1
3
( );  
2)  y
g x
= −
1
2
( ).

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: