Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

18.  Геометрическая прогрессия
177
Далее получаем:
b q
q
q q
b q
q q
1
2
2
1
3
2
1
1
1
4
3
(
) (
)
(
)
;
+
− +
− +
=
1
4
3
+
=
q
q
;
4q = 3 + 3q;
q = 3.
Подставив значение q в первое уравнение системы, получаем: 
9b
1
 + 243b
1
 = 504; отсюда 252b
1
 = 504; b
1
 = 2.
О т в е т: b
1
 = 2, q = 3. 
◄
П р и м е р     4   
  При  каком  значении  x  значения  выражений  3x, 
7 – x  и  5x + 7  будут  последовательными  членами  геометрической 
прогрессии? Найдите эти числа.
Р е ш е н и е. Если значения выражений 3x, 7 – x и 5x + 7 являются 
последовательными членами геометрической прогрессии, то должно 
выполняться равенство (7 – x)
2
 = 3x (5x + 7).
Далее получаем:
49 – 14x + x
2
 = 15x
2
 + 21x;
14x
2
 + 35x – 49 = 0;
2x
2
 + 5x – 7 = 0;
x = 1 или  x
= −
7
2
.
Если x = 1, то получаем такую геометрическую прогрессию: 3, 
6, 12.
Если 
x
= −
7
2
,  то получаем такую геометрическую прогрессию: 
−
21
2
,  
21
2
,  
−
21
2
.
О т в е т: при x = 1 имеем: 3, 6, 12; при  x
= −
7
2
 имеем: 
−
21
2
,  
21
2
,  
−
21
2
.  
◄
Рассмотрим  прикладную  задачу,  которую  часто  приходится 
решать банковским работникам, а также тем, кто хранит деньги 
в банке под проценты.
П р и м е р     5   
 Пусть вкладчик положил в банк 100 000 грн под 
10 % годовых. Какая сумма будет на его счете через 7 лет при усло-
вии, что вкладчик в течение этого срока не снимает деньги со счета?

§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти
178
Р е ш е н и е. Пусть a
0
 — первоначальный капитал вкладчика, то 
есть a
0
 = 100 000 грн.
Обозначим через a
1
, a
2
, ..., a
7
 количество денег на счете соот-
ветственно в конце первого, второго, ..., седьмого годов. Очевидно, 
что последовательность a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
7
 является геометрической 
прогрессией, знаменатель которой равен 110 %, то есть 1,1.
Тогда
a
a
7
0
7
7
1 1
100 000 1 1
194 871 71
=
=
=
æ
æ
,
,
,
 (грн).
О т в е т:  194 871,71 грн. 
◄
Аналогично решают эту задачу в общем виде, когда первона-
чальный капитал, равный a
0
, положили в банк под p % годовых. 
Тогда в конце n-го года будем иметь:
a
a
n
n
p
=
+






0
1
100
Полученную формулу называют формулой сложных процентов.
1.  Какую последовательность называют геометрической прогрессией?
2.  Какое число называют знаменателем геометрической прогрессии?
3.  Какой вид имеет формула 
n
-го члена геометрической прогрессии?
4. Как связаны между собой три последовательных члена геометрической 
прогрессии?
5.  Какой вид имеет формула сложных процентов? Поясните ее.
Упражнения
18.1.°
 Среди данных последовательностей укажите геометрические 
прогрессии, первый член и знаменатель каждой из них:
1) 2, 6, 18, 36; 
4) 81, 27, 9, 3; 
7) –9, –9, –9, –9;
2) 4, 8, 16, 32; 
5) 2, –2, 2, –2; 
8) 1, 2, 3, 5;
3) 10, 20, 30, 40; 
6) 
−
1
4
,  
1
2
,  –1, 2; 
9)  2,  2,  2 2,  4.
18.2.°
 Шестой член геометрической прогрессии (b
n
) равен 8, а зна-
менатель равен –4. Найдите седьмой член прогрессии.
18.3.°
 Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b
n
), если 
b
8
 = 16, а знаменатель прогрессии  q
=
3
4
.
18.4.° Чему равен знаменатель геометрической прогрессии (b
n
), если:
1) b
1
 = 6, b
2
 = –3;    2) b
7
 = –9, b
8
 = 15;    3)  b
10
3 3
=
,  b
11
 = 9?

18.  Геометрическая прогрессия
179
18.5.°
 Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b
n
), если:
1) b
12
 = 24, b
13
 = 4; 
2)  b
4
2
9
= − ,   b
5
4
15
=
.
18.6.° Чему равен первый член геометрической прогрессии (b
n
), если 
b
2
 = 12, а знаменатель прогрессии  q
=
1
3
?
18.7.°
 Седьмой член геометрической прогрессии равен 
1
2
,  а ее зна-
менатель равен 4. Найдите шестой член прогрессии.
18.8.°  Найдите  четыре  первых  члена  геометрической  прогрессии 
(x
n
), если x
1
 = 0,2, а знаменатель прогрессии q = –5.
18.9.°
 Первый член геометрической прогрессии равен 
−
1
27
,  а зна-
менатель равен 3. Найдите пять первых членов прогрессии.
18.10.° В геометрической прогрессии (y
n
) первый член y
1
 = 64, а зна-
менатель  q
= −
1
2
.  Найдите: 1) y
3
; 2) y
6
; 3) y
10
.
18.11.° В геометрической прогрессии (c
n
) первый член c
1
 = 9, а зна-
менатель q = –1. Найдите: 1) c
21
; 2) c
50
.
18.12.°
 Первый член геометрической прогрессии b
1
1
125
=
,  а ее зна-
менатель q = 5. Найдите: 1) b
4
; 2) b
7
.
18.13.°  Найдите  знаменатель  и  пятый  член  геометрической  про-
грессии 
1
216
,  
1
36
,  
1
6
,  ... .
18.14.°
 Найдите знаменатель и шестой член геометрической про-
грессии 18, 12, 8, ... .
18.15.° Докажите, что если последовательность (x
n
) — геометриче-
ская прогрессия, то x
3
x
13
 = x
5
x
11
.
18.16.°
 Докажите, что если последовательность (y
n
) — геометриче-
ская прогрессия, то y
4
y
21
 = y
8
y
17
.
18.17.° Вкладчик положил в банк 5000 грн под 8 % годовых. Сколь-
ко денег будет на его счете через три года?
18.18.°
 Четыре года назад завод изготавливал 10 000 единиц не-
которого изделия в год. Благодаря модернизации производства 
и повышению производительности труда достигли ежегодного 
прироста объемов производства на 20 %. Сколько единиц ука-
занного изделия будет изготовлено в этом году?

§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти
180
18.19.°
 После двух последовательных снижений цены на 10 % кан-
целярский стол стал стоить 2916 грн. Найдите первоначальную 
цену стола.
18.20.°
  После  двух  последовательных  повышений  цены  на  25  % 
люстра  стала  стоить  937  грн  50  к.  Найдите  первоначальную 
цену люстры.
18.21.° Население города за два года увеличилось с 40 000 жителей 
до 44 100. Найдите средний ежегодный процент прироста на-
селения в этом городе.
18.22.°
 Вследствие двух последовательных снижений цены на одно 
и то же количество процентов цена стула снизилась с 800 грн 
до 578 грн. На сколько процентов каждый раз снижали цену?
18.23.
•
 Выразите члены b
8
, b
13
 и b
60
 геометрической прогрессии (b
n
) 
через b
7
 и знаменатель q.
18.24.
•
 Выразите члены c
18
, c
36
 и c
50
 геометрической прогрессии (c
n
) 
через c
12
 и знаменатель q.
18.25.
•
 Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b
n
), если:
1)  b
1
1
2
= ,  b
8
 = 64; 
2) b
6
 = 75, b
8
 = 27.
18.26.
•
 Найдите первый член геометрической прогрессии (c
n
), если:
1)  c
4
1
98
=
,  а знаменатель  q
=
2
7
;      2) c
6
 = 100, c
9
 = 100 000.
18.27.
•
 Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 
6, 18, ... . Найдите номер этого члена.
18.28.
•
 Число 96 является членом геометрической прогрессии 
3
8
,  
3
4
,  
3
2
,  ... . Найдите номер этого члена.
18.29.
•
 Какие два числа надо вставить между числами 6 и 750, что-
бы они вместе с данными числами образовали геометрическую 
прогрессию?
18.30.
•
 Какие четыре числа надо вставить между числами 0,5 и 16, 
чтобы они вместе с данными числами образовали геометриче-
скую прогрессию?
18.31.
•
  Последовательность  (b
n
)  задана  формулой  n-го  члена  b
n
 =
= 5 . 4
n – 2
.  Является  ли  эта  последовательность  геометрической 
прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите ее пер-
вый член и знаменатель.

18.  Геометрическая прогрессия
181
18.32.
•
 Докажите, что последовательность (x
n
), заданная формулой 
n-го члена x
n
 = 7
n + 1
, является геометрической прогрессией, и ука-
жите ее первый член и знаменатель.
18.33.
•
 Последовательность (b
n
) является геометрической прогрес-
сией. Найдите:
1) b
5
, если b
4
 = 9, b
6
 = 25; 
    3) b
17
, если b
16
 = 2, b
18
 = 10.
2) b
20
, если b
19
 = –3, b
21
 = –12;
18.34.
•
 При каком значении переменной x числа x, 3x и 18 будут 
последовательными членами геометрической прогрессии?
18.35.
•
 При каком значении переменной y числа –1, 2y и –8 будут 
последовательными членами геометрической прогрессии?
18.36.
•
 Второй член геометрической прогрессии равен 6. Найдите 
произведение трех первых членов этой прогрессии.
18.37.
•
 Третий член геометрической прогрессии равен 3. Найдите 
произведение пяти первых членов этой прогрессии.
18.38.
•
 Докажите, что в конечной геометрической прогрессии про-
изведение членов, равноудаленных от ее концов, равно произ-
ведению крайних членов.
18.39.
•
 В правильный треугольник со стороной 
a  последовательно  вписаны  треугольники 
так,  что  вершины  каждого  следующего 
треугольника являются серединами сторон 
предыдущего  (рис.  18.1).  Докажите,  что 
периметры  этих  треугольников  образуют 
геометрическую  прогрессию,  и  запишите 
формулу n-го члена этой прогрессии.
18.40.
•
  Является  ли  геометрической  прогрес-
сией последовательность:
1) 2
–n
, 2
–2n
, 2
–3n
, 2
–4n
; 
3) 2
n
, 2
n + 1
, 2
n + 2
, 2
n + 3
?
2) 2
n
,  2
2
n
,   2
3
n
,   2
4
n
;
В  случае  утвердительного  ответа  укажите  знаменатель  про-
грессии.
18.41.
•
 Последовательность (b
n
) является геометрической прогрес-
сией со знаменателем q. Является ли геометрической прогрес-
сией последовательность:
1) b
1
, b
3
, ..., b
2n – 1
; 
3) b
1
 + b
2
, b
2
 + b
3
, ..., b
n – 1
 + b
n
;
2) 2b
1
, 2b
2
, ..., 2b
n
; 
4) 
1
1
b
,  
1
2
b
,  ..., 
1
b
n
?
В  случае  утвердительного  ответа  укажите  знаменатель  про-
грессии.
Рис. 18.1

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: