Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

§ 3.  ЧислОВые ПОследОВательНОсти
184
18.61.
 К сплаву магния и алюминия, содержавшему 12 кг алюми-
ния, добавили 5 кг магния, после чего процентное содержание 
магния в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько килограммов 
магния было в сплаве первоначально?
18.62.  Вкладчик  положил  в  банк  4000  грн.  За  первый  год  ему 
начислили  некоторый  процент  годовых,  а  в  следующем  году 
банковская  ставка  была  увеличена    на  4  %.  В  конце  второго 
года на счете оказалось 4664 грн. Сколько процентов составляла 
банковская ставка в первый год?
18.63.
 Вкладчик положил в банк 10 000 грн. За первый год ему 
начислили  некоторый  процент  годовых,  а  в  следующем  году 
банковский процент был уменьшен на 2 %. В конце второго года 
на счете оказалось 11 880 грн. Сколько процентов составляла 
банковская ставка в первый год?
как  избежать  неоднозначности  в  задачах 
на  процентные  расчеты 
Задачи, в которых идет речь об изменении процентных ставок, 
могут вызвать определенные затруднения. Типичный пример — за-
дачи 18.62, 18.63, в которых говорится об увеличении (уменьшении) 
«банковского процента». Процентная ставка — такая же величина, 
как  и  другие  переменные  величины:  скорость,  расстояние,  цена 
и т. д. Единственное отличие состоит в том, что сама эта величина 
выражена также в процентах. Поэтому ситуация, когда приходится 
говорить об изменении этой величины, допускает неоднозначную 
трактовку. Сравним:
Повышение  
цены x
Повышение  
процентной ставки x
Математическая  
модель, описывающая  
новое значение
Цена повысилась 
на 10 грн
Процентная ставка  
повысилась на 10 %
x + 10
Цена повысилась 
на 10 %
Процентная ставка  
повысилась на 10 %
1,1x
Видим, что в случае процентной ставки словесное описание для 
различных математических моделей оказалось одинаковым.
Чтобы избежать этой неоднозначности, в экономике и других 
областях, где широко применяются процентные расчеты, исполь-
зуют понятие «процентные пункты».

185
19.  сумма 
n
 первых членов геометрической прогрессии
Приведем характерный пример.
В девятых классах учится 100 человек, из которых 20 % в на-
чале учебного года были отличниками.
Если мы скажем, что к концу года количество отличников вы-
росло на 5 %, то эта фраза означает, что количество отличников 
(выраженное  количеством  человек)  увеличилось  на  5  %  от  этой 
величины.  Количество  отличников  в  этом  примере  составляло 
20 человек; когда это количество возросло на 5 %, то уже соста-
вило 21 человека.
Если же мы хотим сказать, что показатель «20 %» увеличился 
и  теперь  равен  «25  %»,  то  надо  употребить  слова  «процентных 
пунктов»: «к концу года количество отличников увеличилось на 
5 процентных пунктов». При такой формулировке количество от-
личников на конец года составит 25 человек.
Теперь мы можем переформулировать задачи так, чтобы избе-
жать ошибочной трактовки.
18.62.
 Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему на-
числили некоторый процент годовых, а в следующем году бан-
ковская ставка была увеличена на 4 процентных пункта. В конце 
второго года на счете оказалось 4664 грн. Сколько процентов 
составляла банковская ставка в первый год?
  19.
  сумма 
n
 первых членов 
геометрической прогрессии
Рассмотрим конечную геометрическую прогрессию b
1
, b
2
, b
3
, ..., 
b
n–1
, b
n
.
Сумму членов этой прогрессии обозначим S
n
.
Имеем:
 
S
n
 = b
1
 + b
2
 + b
3
 + ... + b
n–1
 + b
n
. 
(*)
Выведем формулу для нахождения этой суммы.
Вначале рассмотрим задачу, решение которой подскажет, как 
вывести искомую формулу.
Рассмотрим  геометрическую  прогрессию  1,  2,  2
2
,  ...,  2
62
,  2
63 
и найдем сумму ее членов S
64
:
S
64
 = 1 + 2 + 2
2
 + ... + 2
62
 + 2
63
.
Умножим обе части записанного равенства на знаменатель про-
грессии — число 2:
2S
64
 = 2 + 2
2
 + ... + 2
62
 + 2
63
 + 2
64
.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: