Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины
жүктеу/скачать 4,65 Mb. Pdf көрінісі
|
| 18. Геометрическая прогрессия
175 Эти примеры помогают подметить такую закономерность: чтобы найти некоторый член геометрической прогрессии, можно первый член умножить на степень с основанием q и показателем, на 1 меньшим, чем номер искомого члена. Отсюда, например, b 6 = b 1 q 5 , b 7 = b 1 q 6 , и вообще b n = b 1 q n – 1 Записанное равенство называют формулой n-го члена геометри- ческой прогрессии. Установим важное свойство членов геометрической прогрес- сии (b n ). Имеем: b b b b 2 1 3 2 = , отсюда b b b 2 2 1 3 = æ ; b b b b 3 2 4 3 = , отсюда b b b 3 2 2 4 = æ . Вообще, для любого натурального n, большего 1, можно запи- сать: b b b b n n n n − + = 1 1 . Отсюда b b b n n n 2 1 1 = − + æ Квадрат любого члена геометрической прогрессии, кроме первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен произ- ведению двух соседних с ним членов. Если все члены геометрической прогрессии (b n ) положительны, то равенство b b b n n n 2 1 1 = − + æ можно переписать так: b b b n n n = − + 1 1 æ . Следовательно, каждый член такой последовательности, кроме первого (и последнего, если последовательность конечна), является средним геометрическим двух соседних с ним членов. Рассмотрим две последовательности. Арифметическая прогрессия (a n ), у которой a 1 = 1, d = 2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ... . Геометрическая прогрессия (b n ), у которой b 1 = 1, q = 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ... . У этих прогрессий первые члены равны. Обе эти последователь- ности конструируются с помощью одного и того же числа 2 (d = q = 2). Вместе с тем, сравнивая соответствующие члены этих последова- тельностей, мы видим, что геометрическая прогрессия «растет» |