апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины;
боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
боковые ребра — общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Виды пирамид
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
боковые ребра правильной пирамиды равны;
в правильной пирамиде все боковые грани — равнобедренные треугольники;
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Свойства правильной пирамиды:
Прямоугольная пирамида
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Усечённая пирамида
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Свойства пирамид
Если все боковые ребра равны, то:
около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
высоты боковых граней равны;
площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
Теоремы
Теорема Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.
Теорема Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом , то
Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды.
Формулы связанные с пирамидой
Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
где S — площадь основания и — высота;
где h — объём параллелепипеда;
Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле :
Где — скрещивающиеся рёбра , — расстояние между и , — угол между и ;
1) Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):
2) Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном случае:
