Функционалдық Қатарлар
жүктеу/скачать 112,14 Kb.
|
|
ФУНКЦИОНАЛДЫҚ ҚАТАРЛАР Анықтама: Мүшелері функциялар болып келген қатарды функционалдық қатар деп атайды. (1) Анықтама: Қатар жинақты болатын -тің мәндерінің жиынтығы функционалдық қатардың жинақтылық облысы деп аталады. Анықтама: (1) қатардың қосындысын келесі түрде берейік: бөлшек қосынды, қатардың қалдығы. Егер (1) қатар жинақты болса, онда қосындысы Мысалы: Қатардың жинақтылық облысын табу керек. Даламбер белгісін қолданамыз: Жинақтылық үшін жинақтылық интервалы болу керек. Қатарды жинақтылыққа нүктелерінде зерттейміз. болғанда қатарды Лейбниц теоремасы бойынша тексереміз. Лейбниц теоремасының шарты орындалады. болғанда қатары жинақты, ендеше нүктесі жинақтылық облысына кіреді. болғанда қатарды жалпыланған гармониялық қатармен салыстырамыз. -жинақсыз. болғанда қатары жинақсыз, ендеше нүктесі жинақтылық облысына кірмейді. Дәрежелік қатарлар Анықтама: Мүшелері дәрежелік функциялар болып келген қатар (1) - қатардағы мүшелердің нөмірінен байланысты дәрежелік қатардың коэффициенттер. Анықтама: Дәрежелік қатардың жинақтылық облысы интервал, жарты интервал, сегмент немесе нүкте болуы мүмкін. Абель теоремасы. Егер (1) дәрежелік қатар нүктесінде жинақты болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелерінің жиынында жинақты болады. Егер (1) дәрежелік қатар нүктесінде жинақсыз болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелерінің жиынында жинақсыз болады. Бұл теореманың түп негізі: Егер - жинақтылық нүктесі болса, онда жинақтылық интервалы болады. Егер - жинақсыздық нүктесі болса, онда жинақтылық интервалы болады. Т. Егер (1) қатар барлық мәндерінде жинақты болмаса, онда мынадай саны табылып, мәнінде (1) қатары абсолютті жинақты, ал мәнінде (1) қатары жинақсыз болады. Анықтама: интервалы - (1) дәрежелік қатардың жинақтылық интервалы, ал - (1) дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы деп аталады. Жинақтылық радиусын табуға арналған формула қатары үшін шегі табылса, онда жинақтылық радиусы келесі формула бойынша табылады: (2) Т. дәрежелік қатары үшін шегі табылса, онда жинақтылық радиусы келесі формула бойынша табылады: (3) Мысалы: 1. Қатардың жинақтылық радиусын табу керек. , онда жинақтылық интервалы . Интервалдың шеттерін жинақтылыққа зерттейміз. болғанда таңбасы ауысатын қатар. Лейбниц теоремасы бойынша . Ендеше нүктесі жинақтылық интервалына кіреді. болғанда - гармониялық функция, жинақсыз. нүктесі жинақтылық интервалына кірмейді. Жауабы: 2. - жинақтылық нүктесі. Дәрежелік қатардың қасиеттері функциясы дәрежелік қатардың қосындысы болсын. . Онда функциясы -тің дәрежесі бойынша жіктеледі деп айтады. Т1. Егер функциясы интервалында дәрежелік қатардың қосындысы болса, ол функция осы интервалда дифференциалданады және оның туындысы (1) қатарды мүшелеп дифференциалдау арқылы табылады. Дәл осы жолмен кез келген ретті туындысын табуға болады және ол туындылардың жинақтылық интервалы осы (1) қатардың жинақтылық интервалына тең. Т2. Егер функциясы интервалында дәрежелік қатардың қосындысы болса, ол функция осы интервалда интегралданады және оның интегралы (1) қатарды мүшелеп интегралдау арқылы табылады. Жаңадан табылған интегралдың жинақтылық интервалы да болып табылады. Ескерту: (*) қатар да дәрежелік қатар болып табылады. деп белгілейік. қатардың жинақтылық радиусын тапсақ, - (*) қатардың жинақтылық интервалы Мысалы: қатардың жинақтылық интервалын табайық. Интервалдың шекараларында жинақтылыққа зерттейміз. болғанда - таңбасы ауыспалы қатар. Лейбниц теоремасы бойынша нүктесі жинақтылық интервалына енбейді. мүшелері оң қатар. нүктесі жинақтылық интервалына енбейді. Жауабы: жүктеу/скачать 112,14 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|