y = f(x) функіциясы x0 нүктесінің кейбір аймағында анықталсын, бірақ x0 нүктесінің өзінен басқа.
А санын x0 нүктесіндегі функцияның шегі деп атайды (немесе
, ) егер де кез келген ε >0, δ>0 табылып, барлық х үшін x0 нүкте аймағындағы δ санына келесі теңсіздік орындалса:
y
0
х
х0
А
δ - x0 нүктесінің аймағы
ε – А нүктесінің аймағы
Шектің геометриялық мағынасы: барлық х және δ үшін– окрестности точки x0 нүктесінің аймағында функция графигінің нүктелері у = А +ε , у = А -ε түзулермен шектелген, ені 2ε болатындай жолақ ішінде жатыр .
Біржақты шектер
Функция шегі анықтамасы бойынша
xаргументінің x0 ге жуық болу тәсілі шек мәніне әсер етпейтін кезде бір жақты шектер түсінігін енгізеді.
х x0 –ге кезкелген тәсілмен ұмтылады: x0 қарағанда аз болып қалу (x0 ден сол жақта), x0 қарағанда ұлкен болып қалу (x0 ден оң жақта), немесе x0 айнала қалу.
А1 саны x0 нүктесіндегі функцияның сол жақтағы шегі деп аталады, егер кезкелген ε > 0 үшін δ >0 саны табылып, барлық үшін келесі
М саны бар, х > M немесе x < - M болған жағдайда функция графигінің нүктелері 2ε ені бар және у = А +ε , у = А –ε түзулерімен шектелген жолақ ішінде жатады.
.
y
0
х
М
А
Шектер туралы негізгі теоремалар
Функция шегін табуды жеңілдететін теоремаларды қарастырайық.
Екі функцияның қосындысын (айырымының) шегі осы шектердің қосындысына (айырымына) тең:
немесе болғандағы теоремалардың тұжырымы бірдей болады, сондықтан белгілеуін пайдаланамыз. .
Екі функцияның көбейтіндісінің шегі осы шектердің көбейтінділеріне тең:
