ЖоғАРҒы ретті дифференциалдық теңдеулер кейбір реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер



бет1/2
Дата20.06.2022
өлшемі202,08 Kb.
#37099
  1   2



3 ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР


3.1 Кейбір реті төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер


Анықтама. F(x, y, y' , y" ,...y(n) = 0 n-ші ретті дифференциалдық теңдеу немесе
y(n) = f (x, y, y' , y" ,..., y(n1) )
бас туындыға қатысты шешілген теңдеу деп аталады.
n-ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімдерін тек кейбір жағдайларда ғана анықтауға болады. Бұл теңдеуді мынадай үш жағдайда қарастырайық:
I. y(n) = f (x), яғни y, y' , у" ,..., у(n1) − қатыспаған жағдай.
Жалпы шешімі бұл теңдеуді n рет интегралдау арқылы алынады:
у(n-1) = ∫ f (x)dx = f1 (х) + C1 ,
у(n -2) = ∫( f1 (х) + C1 )dx = f 2(х) + C1 х + C2 ,
у n-3 = ∫( f2 (х) + C1 х + C2 )dx = f3 (х) + C1 + C2 х + C3 ,
…………………………………………………...
у =f n( х)
Мысалы: у IV = cos2 x теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Теңдеудің екі бөлігін dx-ке көбейтіп интегралдайық:
у = ∫cos 2хdx = ∫ (1+ сos2 x) dx = (х + ) + C1
Cол əрекетті қайталап:

Жауабы: ізделінді жалпы шешім.


II. F(x, y(к) , у(к+1) ,...,у(n) ) =0, яғни у-қатыспаған жағдай
у(к) = z - ауыстыруы арқылы теңдеудің ретін төмендетуге болады.
у(к+1) = z'
у(к+2) = z"
.................
у(n) = z(nк)
Мысалы: у" = у' + х теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі : у ' = z(х), y " = z ′ ауыстыруын енгізсек: z' − z = x - сызықтық теңдеу аламыз. Бұл теңдеуді шешу үшін z= uv , z'=u'v+uv' белгіленуін пайдаланатынбыз, яғни осы берілгенді сызықтық теңдеуге қоямыз:
u/ v+ u v/ -u v= x
u/ v+ u(v/ -v)= x
1) v/ -v= 0 v/ =v

Демек, z= uv болғандықтан, əрі z = y' екенін ескерсек:




у/=(- хе- х –е- х+C1х=((- х-1) е- х+C1х= - х-1+C1 ех

у-ті табу үшін екі бөлігін де интегралдау қажет:




у = ∫(−х −1+C1 ех )dx = − х2/2 х + C1 ех + C2

Жауабы: у = − х2/2 х + C1 ех + C2



3.2 Жоғарғы ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер


Анықтама: у функциясы және оның  туындыларына қатысты сызықты түріндегі теңдеу біртекті емес n-ші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталынады.


Анықтама. Егер f(x) = 0 болса, онда

Ln(y) =


теңдеуі сызықтық біртекті дифференциалды теңдеу деп, ал егер f(x) ≠ 0 болса, онда Ln(y) = f(x) теңдеуі сызықтық біртекті емес деп, егер барлық p0, p1, p2, … pn коэффициенттері – тұрақты сандар болса, онда Ln(y) = f(x) теңдеуі жоғарғы ретті тұрақты кооэффициентті сызықтық дифференциалды теңдеу деп аталады


n-ші ретті сызықтық диффренциалдық оператордың қасиеттері.
1) L[су]=cL[y]
Мысалы: L[y]= у′′−2у′+4у берілсе,
L[сy ] = ( су ) ′′ − 2 ( су ) ′ + 4 ( су ) = с ( у ′′ − 2 у ′ + 4 у ) = с L[y ]
2) у=y1+y2
L[y]=L[y1+y2]=L[y1]+L[y2]- аддитивтік қасиеті.
3) С1, С2,...Сn- тұрақтысы берілсе, онда
Мұнда функцияның тəуелді жəне тəуелсіздігі ұғымдарына тоқтала кеткен жөн.
y1,y2,y3,…,yn функциялар тізбегін α12 3,…, αn сандар тізбегіне қоссақ
функциялар тізбегінің сызықтық комбинациясы алынады.


Анықтама. y1,y2,y3,…,yn функциялары өзара сызықты тәуелді делінеді, егер олардың сызықтық комбинациясы нөлге тең: болатындай бәрі бір мезгілде 0-ге тең болмайтын α12 3,…, αn сандары табылатын болса, керісінше жағдайда сызықты тәуелсіз делінеді.
Басқаша айтқанда, тізбектің функциясын басқалары арқылы сызықты өрнектеуге болады.
Мысалы: у1 =Sin2x , у2 =Cos2x, у32 - сызықты тәуелді функциялар.
α 1 =1, α2 =1, α3= -
Функцияның сызықты тəуелді, тəуелсіздігін анықтауда Вронскиан деп аталатын анықтауыш қарастырылады.

-Вронский анықтауышы (вронскиан).


(а,в) аралығында (n-1)-ші туындыларымен бірге үзіліссіз n функцияның сызықты тəуелсіздігі үшін сол функциялардың Вронский анықтауышы (Вронскиан) (а,в) –ның кез келген нүктесінде нөлден өзге болуы жеткілікті, яғни

Анықтама: Егер n-ретті сызықты біртекті теңдеудің n шешімдер жинағы (а,в) аралығында анықталған жəне сызықты тəуелсіз болса, онда олар теңдеудің фундаментальді шешімдер жүйесі деп аталады.
Мысалы: y=С1e3x2e-3x функциясы у′′−2у = 0 теңдеуінің жалпы шешімі болатынын көрсетіңіз.
Шешуі: y11e3x, y=С2e-3x  y1=3С1e3x, y2=-3С2e-3x
W( y1, у2) = ,
ендеше берілген функция теңдеудің жалпы шешімі.
Сызықтық біртекті дифференциалды теңдеудің шешімі:
1)Егер у1 функциясы теңдеудің шешімі болса, онда Су1 функциясы да шешімі болады, мұндағы С – кез келген тұрақты сан.
2) Егер у1 және у2 функциялары теңдеудің шешімі болса, онда у12 функциясы да шешімі болады.
3.3 Жоғарғы ретті тұрақты коэффицентті біртекті сызықтық теңдеулер

Коэффиценттері тұрақты сан болатын теңдеулерді қарастырайық:




 түрінде берілген теңдеудің шешімін (қысқаша  ) түрінде іздейміз ( k - тұрақты).
болғандықтан
көпмүшесі дифференциалдық теңдеудің сипаттамалық (характеристикалық) көпмүшесі деп аталады.
 функциясы берілген дифференциалдық теңдеудің шешімі болу үшін қажетті және жеткілікті шарттар:  яғни
ekx ≠ 0 болғандықтан  - бұл теңдеу сипаттамалық (характеристикалық) теңдеу деп аталады.
сипаттамалық теңдеудің n түбірі бар. Оның әрбір ki-ші түбіріне дифференциалдық теңдеудің шешімі сәйкес табылады.
Сипаттамалық теңдеудің шешімдеріне қатысты дифференциалдық теңдеудің келесі шешімдері алынады:

  1. Егер k1,k2,...kn – сипаттамалық теңдеу түбірлері нақты, әртүрлі сандар болса, онда біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

(*)

  1. Егер k1,k2,...kn – сипаттамалық теңдеу түбірлері нақты, әрі k1 түбірі m-еселі болса: k1= k2=…= km=k, онда (*) біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:



  1. Егер сипаттамалық теңдеу түбірлері ішінде k1,2= комплекс (кешенді) түбірлер жұбы бар болса, онда (*) формуласының екі мүшесі келесі қосылғыштармен алмастырылады:



  1. Егер k1,2= комплекс түбірлер жұбы m-еселі болса, онда (*) формуласының m-мүшелер жұбы келесі қосылғыштармен алмастырылады:


Мысалы: yIV+10y′+9y=0, y(0)=1, y′(0)=3, у′′(0)= -9, y′′(0)= -27 Коши есебін шешу керек.
Шешуі: k4+10k2+9=0 Егер k2=a деп белгілесек, онда k4=a2  а2+10a+9=0
D=100-4*9=64, а1,2=  k2 = a =
 k2 = -9  k1,2 = 3i=03i   =0, =3
 k2 = -1  k1,2 = i=0i   =0, =1

- берілген төртінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Енді бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дара шешімін табайық.

Бастапқы шарттарды қолданамыз:
1=C1+C3 C4=0
3=3C2+C4 C3=0
-9=-9C1-C3 C1=1
-27=-27C2-C4 C2=1
Жауабы: y=cos3x+sin3x- дара шешімі.




Достарыңызбен бөлісу:
  1   2




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет