Коммерциялық емес акционерлік қоғам
-Дәріс. Дербес туындылы теңдеулерді топтастыру. Екі тәуелсіз
жүктеу/скачать 1,79 Mb. Pdf көрінісі
|
|
7-Дәріс. Дербес туындылы теңдеулерді топтастыру. Екі тәуелсіз айнымалысы бар екінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулерді канондық түріне келтіру Дәріс мақсаты: Гиперболалық, параболалық және эллипстік теңдеулерді қарастыру, оларды канондық түріне келтіру әдістерімен таныстыру.
Екінші ретті сызықты дербес туындылы теңдеулер берілсін:
(7.1) мұндағы a, b, c–лар x және y-тен тәуелді функциялар: a(x,y), b(x,y), c(x,y). Егер D облысында: 1) болса, онда (7.1) гиперболалық типті теңдеу деп аталады, 2) болса, онда (7.1) параболалық типті теңдеу деп аталады, 3) болса, онда (7.1) элиптикалық типті теңдеу деп аталады. Гиперболалық типті канондық теңдеу:
.
Параболалық типті канондық теңдеу:
. Элиптикалық типті канондық теңдеу:
.
(7.1)-ші теңдеуінің сипаттамалы теңдеуі деп келесі дифференциалды теңдеу аталады:
33 1.
Гиперболалық типті теңдеуі үшін сиппатамалы теңдеуінің екі интегралы (жалпы шешімі) бар:
,
,
яғни нақты сипаттамалардың екі әулеті бар. Сонда (7.1)-ші дифференциалдық теңдеу: , , алмастыру арқылы канондық түрге келтіріледі. 2. Параболалық типті теңдеуі үшін сипаттамалардың екі әулеті тең, яғни сиппатамалы теңдеуі бір интегралын (жалпы шешімін):
береді. Келесі алмастыру арқылы (7.1)-ші теңдеу канондық түрге келтіріледі:
, ,
мұнда – төмендегі шартты қанағаттандыратын қайсы бір функция:
.
3. Эллипстік типті теңдеу үшін сипаттамалы теңдеуінің интегралдары келесі комплекс түрде анықталады:
,
мұнда және – нақты функциялар. Келесі алмастыру арқылы (7.1)-ші теңдеу канондық түрге келтіріледі:
, . Мысал. дербес туындылы дифференциалдық теңдеуді канондық түріне келтіріңіз.
Шешуі. Есеп шарты бойынша:
, , ,
,
яғни бұл эллипстік типті теңдеу.
Сипаттаушы теңдеуі: 34 .
Немесе берілгендерді қолдансақ:
, осыдан аламыз: .
Бұл теңдеуді шешеміз, онда:
,
және .
Жаңа айнымалыларды еңгіземіз: ,
.
Келесі формулаларды қолданып, қажетті дербес туындыларды табамыз:
,
,
,
,
35 .
Берілген:
теңдеуге анықталған екінші ретті дербес туындыларды қоямыз: .
Бұдан аламыз:
. Онда берілген теңдеудің канондық түрі:
.
Мысал. теңдеуді канондық түрге келтіріңіз Шешуі. Есептің берілгені бойынша:
, , ,
онда
, яғни берілген теңдеу гиперболалық типті. Сипаттамалық теңдеуі
Екі дифференциалдық теңдеу аламыз:
және .
Бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер, оларды шешеміз:
осыдан
36 осыдан
Онда және
– сипаттамалар теңдеулердің екі әулеті. Жаңа айнымалылар еңгіземіз: , .
Ескі х және у бойынша дербес туындыларды жаңа айнымалылар мен бойынша дербес туындылар арқылы табамыз:
,
,
,
.
Есептің шарты бойынша берілген теңдеуге анықталған екінші ретті дербес туындыларды қоямыз:
, осыдан |