Математика класс Всероссийская олимпиада школьников «Высшая проба» этап, 2021

Математика 
 
7 класс 
Всероссийская олимпиада школьников «Высшая проба» 2 этап, 2021 
1 
Время выполнения заданий – 240 минут 
Максимальное количество баллов - 100 
 
Задание 1 (15 баллов) 
 
В трёх коробках лежат шарики. В первой – красные, во второй – белые, в третьей лежат 
шарики и красного, и белого цвета. На каждой коробке сделан надпись «красные», «белые», 
«смешанные», но известно, что ни одна из надписей не соответствует действительности. 
Семиклассник Сергей хочет узнать, где какие шарики. Для этого он может распечатать 
ровно одну коробку и вынуть оттуда ровно один шарик. Сможет ли он добиться своей цели? 
 
Задание 2 (15 баллов) 
 
На доске написано положительное число, с которым разрешается делать следующие 
операции: 1) умножать на два; 2) прибавлять один.
Каждый из трёх школьников один раз применил к имеющемуся числу первую операцию и 
два раза вторую операцию в некотором порядке. При этом все три числа оказались 
различными, и число, полученное первым школьником, превосходит число, полученное 
вторым школьником, более чем на 60%. Докажите, что число, полученное третьим 
школьником, превосходит число, полученное вторым школьником, более чем на 30%. 
 
Задание 3 (15 баллов) 
 
В прямоугольном треугольнике KLM проведены биссектрисы KE и LF, пересекающиеся в 
точке O. Прямая, делящая на две равные части угол EOL, отсекает от исходного 
треугольника равнобедренный. Найдите острые углы треугольника KLM. 
Задание 4 (15 баллов) 
Собственным делителем числа называется любой делитель, отличный от 1 и самого числа. 
Найдите число способов, которыми можно раскрасить в три цвета числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
так чтобы цвет каждого числа отличался от цвета любого его собственного делителя. Не 
забудьте объяснить предложенный Вами способ подсчёта. 
 
Задание 5 (15 баллов) 
 
Найдите все четвёрки натуральных чисел a, b, c, d, для которых выполнены равенства 
a + b = cd 
 
c + d = ab 
 
Задание 6 (25 баллов) 
Некоторые клетки квадрата 9 на 9 покрашены в чёрный цвет так, что в каждом 
прямоугольнике из шести клеток ровно две чёрные. Сколько всего клеток в квадрате 
покрашено? Дайте полный и обоснованный ответ на этот вопрос.