Задача поиска параметров моделей субъектов и их взаимодействия в условиях

 

 

254 

v

Q

A

x

Q

Q

q

y

y

v

v

v

v

v

v

v

h

v

h





)

1

(

)

(

*

)

(

1

)

(

2











,                      vV, 

(14) 

)

(

*

)

(

)

(

i

i

i

i

V

v

v

i

V

v

v

P

P

p

x

x





















 

 

 

 

iE, 

(15) 

v

v

v

v

v

v

a

Q

Q

x

A

A

v

/

*







 

 

 

 

 

vV. 

(16) 

 

Просуммировав соотношения (13) по  i



E, получаем (это легко получается из анализа системы 

уравнений (15) при записи ее в матричной форме [4]), что 

 













E

i

i

i

E

i

i

c

y

C

*

. 

 

 

 

 

 

(17) 

 

Аналогично суммируя соотношения (15) по  i 



 E , получаем 

 











E

i

i

i

E

i

i

i

P

p

P

p

*

   

 

 

 

 

(18) 

 

Таким  образом,  задача  отыскания  минимума  функционала  F  сведена  к  решению  системы 

уравнений  (12)  (18).  Легко  видеть,  что  при  фиксированных  лагранжевых  потоках  x

v

 ,  ценах  y

 

i  

и 

значениях  A

 

v

     система  уравнений  (12), (13), (18)  представляет  собой  задачу  потокораспределения 

продуктовых потоков. И, наоборот, при фиксированных продуктовых потоках Q

 

v 

, ценах P

 

i

 и значениях 

A

 

v

 ,  система  уравнений  (14,15,17)  представляет  собой  задачу  потокораспределения  лагранжевых 

потоков такого же вида, что и потокораспределение продуктовых потоков, лагранжев поток x

v 

входит в 

уравнения  (14)  линейно,  что  облегчает  ее  решение.  Несколько  необычный  вид  имеют  лишь 

соотношения (17,18). Получившаяся структура уравнений и определяет методы решения задачи. 

Основные  методы  решения  задач  потокораспределения  подразделяются  на  поузловую  и 

поконтурную  увязку  сети.  Однако  соотношения  (17),  (18)  затрудняют  применение  для  решения 

получившихся  задач  потокораспределения  методы  поузловой  увязки.  Покажем,  как  для  ее  решения 

можно применить поконтурную увязку. 

Выделим в графе G произвольный остов 

H

V

E

G

,

, 





. Дуги 

V

V

u





\

, которые будем называть 

хордами,  совместно  с  вершинами  и  дугами  остова  определяют  фундаментальную  систему  циклов 

H

V

E

G

u

u

u

,

,



, 

V

V

u





\

.  Для  каждого  такого  цикла  зададим  направление  обхода,  совпадающего  с 

направлением  дуги   и.  Также  для  каждого  цикла 

u

G

введем  функцию  sgn

u 

(v),  определенную  на 

множестве V

  

: 





















u

u

u

u

V

V

v

u

V

v

u

V

v

v

sgn

\

0

дуги

ю

направлени

ожно

противопол

дуги

е

направлени

1

дуги

ем

направлени

с

совпадает

дуги

е

направлени

1

)

(

 

 Очевидно, что 

 

(Р

i2

Р

i1

)+ (Р

i3

Р

i2

)+ (P

i4

P

i3

)+... + (Р

ik

 Р

i1

)

 

=0,  

u



V\V',             (19) 

 

где i1, i2, i3, ... , ik  вершины цикла С

и

, перечисленные в направлении дуги и. Аналогично для 

лагранжевых напоров 

 

(y

i2

y

i1

)+ (y

i3

y

i2

) + (y

i4

y

i3

)+... + (y

ik

 y

i1

)=0, 

 

u



V\V'.             (20) 

 

Для  каждой  дуги  vV  обозначим   



Р

v

=  P

h2(v)

P

h1(v)

,   



y

v

=  y

h2(v)

y

h1(v)

.  Подставляя  новые 

переменные в (12,14,19,20), получаем 

 

v

v

v

v

v

Q

Q

A

P







,   

 

 

 

 

vV, 

            (21) 

v

v

v

v

v

v

v

v

v

Q

A

a

x

Q

Q

q

y



)

1

(

)

(

*













, 

 

vV,        

(22) 









u

V

v

v

u

P

v

sgn

0

)

(

 , 

 

 

 

 

 

(23) 









u

V

v

v

u

y

v

sgn

0

)

(

.  

 

 

 

 

 

(24) 

 

Равенства  (23)  представляют  собой  второе  правило  Кирхгофа  для  продуктовых  потоков, 

равенства (24)  второе правило Кирхгофа для лагранжевых потоков. Если эти правила выполняются 

для системы фундаментальных циклов, то они выполняются и для любого цикла сети [4] . 

 

 

255 

Зафиксируем в системе уравнений (13), (21), (23) значения переменных A

v

, v



V  и у

i

, i



E, тогда 

любым алгоритмом поконтурной увязки [2] из нее можно получить значения Р

v

, Q

v

, vV. Покажем, 

как можно с их помощью получить значения переменных Р

i

, iE. Зафиксируем в некоторой вершине 

k



E произвольное значение Р

k

. Тогда система уравнений 

 

)

(

1

)

(

2

v

h

v

h

v

P

P

P











,

 

 

 

 

 

vV',   

 

(т.е.  на  остове)  однозначно  определяет  значения  Р'

i

  во  всех  остальных  вершинах  iE.  Однако 

эти значения, вообще говоря, могут не удовлетворять соотношению (18). Положим P

i

=P'

i

+C, iE, где 















E

i

i

E

i

i

i

i

p

P

P

p

C

)

(

*

.  Очевидно,  что  для  любых  i,j



E  справедливо  равенство  P

i

P

j

=P'

i

P'

j

,  т.е.  для 

полученных  таким  образом  значений  переменных  Р

i

  выполняются  равенства  (12),  а  так  же 

выполняется равенство (18), т.е. получаем решение системы уравнений (12,13,18). 

Аналогично для системы (14), (15), (17), зафиксировав значения А

v 

, Q

 

v 

, vV, P

 

i 

 

, i  E, любым 

алгоритмом  поконтурной  увязки  получаем  значения  переменных    х

v

,  у

v

,  vV.  Фиксируя  в 

произвольной вершине  kE  произвольное значение y'

i

 ,  из системы уравнений 

 

у

v

= y'

h2(v)

 

y'

h1(v)

,

 

 

 

 

 

vV, 

 

 

находим значения y'

i

, во всех остальных  вершинах. Полагая y

i

=y'

i

+c, iE, где 





















E

i

i

E

i

i

E

i

i

i

c

C

c

y

c

/

1

*

, 

получаем решение системы (14), (15), (17). 

 

жүктеу/скачать 35,33 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: