Пәннің ОҚУ-Әдістемелік кешені «Орнықтылық теориясы»
Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя системы (1) Решение
жүктеу/скачать 0,55 Mb.
|
| 5. Исследовать на устойчивость по первому приближению точку покоя системы
(1) Решение. Система первого приближения (2) нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям: их порядок больше или равен двум. Составим характеристическое уравнение для системы (2): (3) Корни характеристического уравнения (3) , вещественные Следовательно, нулевое решение системы (1) неустойчиво. 6. Рассмотрим систему (4) Точка покоя системы (4) асимптотически устойчива, так как для этой системы функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. В частности, В то же время точка покоя системы (5) Неустойчива в силу теоремы Четаева взяв будем иметь Системы (4) и (5) имеют одну и ту же систему первого приближения (6) Характеристическое уравнение для системы (6) или имеет чисто мнимые корни, так что действительное части корней характеристического уравнения равны нулю. Для системы первого приближения (6) начало координат является центром. Системы (4) и (5) получаются малым возмущением правых частей системы (6) в окресности начала. Однако эти малые возмущения приводят к тому, что замкнутые трактории превращаются в спирали, в случае (4) приближающиеся к началу координат и образающие в точке устойчивый фокус, а в случае (5)– удаляющиеся от начало координат и образующие в точке неустойчивый фокус. Таким образом, в критическом случае нелинейные члены могут влиять на устойчивость точки покоя. 7. Рассмотрим замкнутый контур с нелинейными элементами (рис44) уравнение контура (7) Здесь заряд конденсатора и, следовательно, ток в цепи; сопритивление; индуктивность; емкость; нелинейные члены, имеющие степень не ниже второй, Уравнение (7) эквивалентно системе (8) для которой начало координат есть точка покоя. Рассмотрим систему первого приближения (9) Характеристическое уравнение для системы (9) имеет вид (10) Если т.е. то уравнение (10) имеет комплексные корни с отрицательной действительной частью и, значит, начало координат для систем (9) и (8) асимптотически устойчиво. Если то начало координат также асимптотически устойчиво (все параметры положительны). Асимптотическая устойчивость точки покоя видна из физических соображений: при положительном омическом сопротивлении с возрастанием ток неизбежно исчезает. жүктеу/скачать 0,55 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|