Практикум по алгебре

1 
Федеральное
агентство
по
образованию
Государственное
образовательное
учреждение
высшего
профессионального
образования
«
Рязанский
государственный
университет
имени
С
.
А
. 
Есенина
» 
С
.
А
. 
Моисеев
, 
Н
.
М
. 
Суворов
ЗАДАЧНИК
-
ПРАКТИКУМ
ПО
АЛГЕБРЕ
И
ТЕОРИИ
ЧИСЕЛ
 
Рекомендовано
 
УМО
 
по
 
специальностям
 
педагогического
 
образования
 
в
 
качестве
 
учебного
 
пособия
 
для
 
студентов
 
высших
 
учебных
 
заведений
, 
обучающихся
 
по
 
специальности
032100 (050201) — 
математика
Рязань
2006 

2 
ББК
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М
74 
22.1
я
73
М
74 
Печатается
по
решению
редакционно
-
издательской
секции
физико
-
матема
-
тического
факультета
совета
Рязанского
государственного
университета
им
. 
С
.
А
. 
Есенина
. 
Научный
редактор
Н
.
И
. 
Крючков
, 
канд
. 
физ
.-
мат
. 
наук
, 
доц
. 
Рецензенты
: 
С
.
С
. 
Волков
, 
д
-
р
физ
.-
мат
. 
наук
, 
проф
. (
РГРТУ
) 
В
.
В
. 
Миронов
, 
д
-
р
физ
.-
мат
. 
наук
, 
проф
. (
РГРТУ
) 
 
Моисеев
, 
С
.
А
. 
Задачник
-
практикум
по
алгебре
и
теории
чисел
. — 
2-
е
изд
., 
испр
. 
и
доп
. / 
С
.
А
. 
Моисеев
, 
Н
.
М
. 
Суворов
; 
Ряз
. 
гос
. 
ун
-
т
им
. 
С
.
А
. 
Есенина
. – 
Рязань
, 2006. – 128 
с
. 
Задачник
адресуется
студентам
и
преподавателям
математиче
-
ских
и
физико
-
математических
факультетов
университетов
и
педагоги
-
ческих
вузов
, 
а
также
учащимся
старших
классов
и
учителям
матема
-
тики
. 
Он
содержит
индивидуальные
и
групповые
задания
и
задания
для
семестровых
экзаменов
по
алгебре
и
теории
чисел
. 
Ключевые
слова
: 
действительные
, 
комплексные
, 
рациональные
, 
целые
, 
натуральные
 
числа
; 
бинарные
 
отношения
 
и
 
операции
; 
группы
, 
кольца
, 
поля
, 
векторные
 
пространства
; 
изоморфизм
, 
гомоморфизм
. 
ББК
 22.1
я
73 
© 
С
.
А
. 
Моисеев
, 
Н
.
М
. 
Суворов
© 
Государственное
образовательное
учреждение
высшего
профессионального
образования
«
Рязанский
государственный
университет
имени
С
.
А
. 
Есенина
», 2006 

3 
 
 
 
 
 
 
Предисловие
 
В
традиционных
математических
курсах
бытует
более
или
менее
устояв
-
шееся
представление
о
так
называемых
«
стандартных
» 
задачах
, 
предназначен
-
ных
для
индивидуального
решения
каждым
студентом
. 
Обычные
задачники
, 
однако
, 
не
содержат
нужного
количества
однородных
задач
.
Первая
часть
настоящего
пособия
предлагает
82 
задания
подобного
рода
, 
охватывающих
весь
курс
алгебры
и
теории
чисел
; 
каждое
дается
в
30 
вариан
-
тах
. 
Работа
с
ними
позволяет
оперативно
контролировать
усвоение
материала
и
в
значительной
степени
решать
проблему
текущей
обратной
связи
. 
Работа
в
малых
группах
является
перспективой
педагогической
техноло
-
гией
, 
развитие
которой
сдерживается
отсутствием
методического
обеспечения
. 
Вторая
часть
задачника
частично
восполняет
этот
пробел
. 
Она
содержит
37 
за
-
даний
(
по
6 
вариантов
), 
которые
предназначены
для
углубления
и
конкретиза
-
ции
изучаемого
материала
, 
разбора
«
тонких
» 
моментов
теории
. 
Выполнение
этих
заданий
повышает
степень
качества
учебного
процесса
. 
Большинство
за
-
дач
одного
задания
взаимно
дополняют
друг
друга
, 
что
открывает
дополни
-
тельные
методические
возможности
. 
Более
трети
всех
задач
– 
школьные
, 
по
-
вышенного
уровня
, 
они
могут
использоваться
в
работе
с
учащимися
. 
Третья
часть
задачника
представляет
собой
систему
заданий
к
семестро
-
вым
экзаменам
. 
Здесь
собраны
задачи
теоретического
характера
. 
Их
решение
не
связано
с
громоздкими
вычислениями
, 
но
предполагает
уверенное
владение
теорией
. 
Некоторые
задачи
призваны
осуществить
классификацию
изучаемых
объектов
, 
а
также
охарактеризовать
их
с
разных
сторон
. 
Другие
задачи
являют
-
ся
необычными
перефразировками
решенных
ранее
, 
подготовленный
студент
их
сразу
узнает
. 
Задачи
третьей
части
предназначены
главным
образом
для
са
-
мостоятельного
решения
в
период
подготовки
студентов
к
экзаменам
. 
В
третьей
части
пособия
даются
методические
указания
. 
Авторы
выражают
свою
признательность
алгебраистам
РГУ
, 
несколько
лет
использовавшим
в
учебном
процессе
прототип
данного
задачника
и
внесшим
ценные
предложения
по
его
совершенствованию
. 
Особая
благодарность
доценту
Н
.
И
. 
Крючкову
— 
редактору
настоящего
издания
, 
профессору
А
.
Х
. 
Назиеву
, 
методические
разработки
которого
использованы
при
составлении
задач
, 
а
так
-
же
доценту
Г
.
В
. 
Денисовой
, 
дополнившей
пособие
новым
заданием
. 

4 
ЧАСТЬ
 1
Система
 
индивидуальных
 
заданий
 
Перечень
 
тем
 
заданий
 
1.
Операции
над
множествами
. 
2.
Равносильные
преобразования
в
алгебре
логики
. 
3.
Логическое
следование
. 
4.
Логически
общезначимые
формулы
. 
5.
Логически
не
общезначимые
формулы
. 
6.
Запись
определений
и
теорем
в
виде
формул
. 
7.
Необходимое
и
достаточное
условия
. 
8.
Бинарные
отношения
. 
9.
Отношения
эквивалентности
. 
10.
Разбиения
множества
. 
11.
Образы
и
прообразы
множества
при
отображениях
. 
12.
Метод
математической
индукции
. 
13.
Решение
системы
линейных
уравнений
. 
14.
Исследование
системы
линейных
уравнений
. 
15.
Отыскание
многообразия
решений
системы
линейных
уравнений
. 
16.
Линейная
зависимость
и
независимость
системы
векторов
. 
17.
Ранг
и
базис
системы
векторов
. 
18.
Умножение
матриц
. 
19.
Вычисление
обратной
матрицы
. 
20.
Вычисление
числовых
определителей
. 
21.
Вычисление
определителей
степени
n.
22.
Правило
Крамера
решения
системы
линейных
уравнений
. 
23.
Определение
группы
. 
24.
Подгруппы
. 
Смежные
классы
и
фактор
-
группы
. 
25.
Циклические
группы
. 
Подгруппы
циклической
группы
. 
26.
Гомоморфизмы
групп
. 
27.
Доказательство
неизоморфности
алгебр
. 
28.
Свойства
колец
и
полей
. 
29.
Свойства
упорядоченных
колец
и
полей
. 
30.
Определение
кольца
и
поля
. 
31.
Изоморфизм
колец
и
полей
. 
32.
Геометрическое
изображение
комплексных
чисел
. 
33.
Алгебраическая
и
тригонометрическая
формы
комплексных
чисел
. 
34.
Операции
над
комплексными
числами
. 
35.
Корни
из
комплексных
чисел
. 
36.
Примеры
векторных
пространств
. 
37.
Векторные
подпространства
. 
Базис
и
размерность
. 
38.
Координаты
вектора
в
различных
базисах
. 
39.
Линейная
оболочка
. 
Сумма
и
пересечение
подпространств
. 
40.
Определение
евклидова
пространства
. 

5 
41.
Процесс
ортогонализации
системы
векторов
. 
42.
Ортогональное
дополнение
подпространства
. 
Ортогональная
проекция
вектора
. 
43.
Линейное
отображение
. 
Матрица
линейного
отображения
. 
44.
Матрицы
линейного
оператора
в
различных
базисах
. 
45.
Ранг
, 
дефект
, 
образ
, 
ядро
линейного
отображения
. 
46.
Собственные
векторы
и
собственные
значения
линейного
оператора
. 
При
-
ведение
матрицы
линейного
оператора
к
диагональному
виду
. 
47.
Деление
с
остатком
в
Z
. 
48.
Систематические
числа
. 
49.
Делимость
целых
чисел
. 
Деление
с
остатком
. 
50.
Деление
с
остатком
в
кольце
целых
гауссовых
чисел
. 
51.
НОД
. 
НОК
. 
Линейная
выражаемость
НОД
. 
52.
Простые
и
составные
элементы
кольца
целых
гауссовых
чисел
. 
53.
Взаимно
простые
числа
. 
Сокращение
дробей
. 
54.
Операции
над
идеалами
. 
55.
Числовые
сравнения
. 
56.
Полная
и
приведенная
системы
вычетов
. 
57.
Сравнения
I 
степени
. 
58.
Системы
сравнений
I 
степени
. 
59.
Неопределенные
уравнения
первой
степени
. 
60.
Представление
рационального
числа
в
виде
конечной
цепной
дроби
. 
61.
Представление
конечной
цепной
дроби
рациональным
числом
. 
62.
Представление
квадратичной
иррациональности
в
виде
периодической
цепной
дроби
. 
63.
Представление
периодической
цепной
дроби
в
виде
квадратической
ирра
-
циональности
. 
64.
Применение
цепных
дробей
к
решению
сравнений
I 
степени
. 
65.
Сравнение
высших
степеней
. 
66.
Порядок
элемента
. 
Первообразные
корни
. 
67.
Применение
индексов
к
решению
сравнений
. 
68.
Деление
многочлена
на
двучлен
x
–
α
. 
69.
Выделение
кратных
множителей
. 
70.
Интерполяционные
многочлены
. 
71.
Рациональные
корни
многочлена
. 
72.
Метод
Кронекера
разложения
на
множители
. 
73.
Разложение
на
неприводимые
множители
над