Сабақ 11. Тақырып: Параболалық типті теңдеулер
жүктеу/скачать 75,18 Kb.
|
|
Практикалық сабақ 11. Тақырып: Параболалық типті теңдеулер 11.1. Жылуөткізгіштік теңдеуге қойылатын бастапқы бірінші шекаралық есебі. Тапсырмалар: 1 Сыртқы кеңiстiкпен байланыссыз ұзындығы l бiртектi жiңiшке стерженнiң бастапқы температурасы тең. Стерженнiң ұштарындағы температура нөлге тең. Стерженнiң t>0 болғандағы температурасын анықтау керек. 2 Функциялардың Фурье түрлендiруiн табу керек. а) б) 3 Берiлген
4 Берiлген теңдеуiнiң алғашқы шартын қанағаттандыратын шешiмiн табу керек. 5 Жартылай шектелген стерженнiң x=0 шетi жылу өткiзбейдi, ал бастапқы температурасы формуласымен анықталады.Жылуөткiзгiштiк теңдеуiнiң шешiмiн табу керек. 6 Стерженнiң сол жақ x=0 шетiнде u=00 тұрақты температура ұсталып тұрады. Оң жақ x=l шетiнiң қоршаған ортамен байланысы жоқ, жылу өткiзбейдi (яғни оң жақ шетiнiң температурасының x бойынша туындысы нөлге тең: ). Бастапқы температура функциясы арқылы берiлген. Қоршаған ортамен еркiн жылу алмасуда стерженнiң iшкi жағындағы температураның таралу заңдылығын анықтау керек. 7 Ұзындығы l-ға тең бiртектi стерженнiң сол жақ x=0 шетiнде 00 тұрақты температура ұсталып тұрады, ал оң жақ x=l шетi жылу өткiзбейдi.Стерженнiң нүктелерiнiң бастапқы температурасы функциясы арқылы берiлген. Еркiн түрде жылу алмасудан стерженнiң суу заңдылығын табу керек. 8 Ұзындығы l стерженнiң iшкi жағының барлық нүктелерiндегi температурасы алғашқы уақыт кезеңiнде 00 қа тең де, сол жақ шетiнде әр уақытта m1 тұрақты температура, ал оң жақ шетiнде m2 тұрақты температура ұсталады. Еркiн жылу алмасуда стерженнiң iшкi жағындағы температураның таралу заңдылығын табу керек. 9 Ұзындығы l-ға тең [0,l] кесiндiсiнде орналасқан стерженнiң iшкi жағындағы температурасы алғашқы уақыт кезеңiнде нөлге тең. Оң жақ шетiнде әр уақытта нөлге тең температура ұсталады да, ал сол жақ шетiнде заңдылығы бойынша өзгередi. Мұндағы u0, - берiлген сандар. Жылу алмасуы еркiн емес стерженнiң iшiнде массасының бiрлiк өлшемiне шаққанда қарқыны (интенсивтiлiгi) - тең жылу көздерi мен жылу жұтқыштар бар. Стерженнiң iшкi жағындағы температураның таралу заңдылығын табу керек. 10 Ұзындығы l бiртектi изотропты стержендегi алғашқы температура теңдiгiмен берiлген. Стерженнiң сол жақ шетi жылу өткiзбейдi, ал оң жақ шетiнде тұрақты температура ұсталып тұрады. Стержендегi жылу алмасу еркiн болғанда температураның өзгеру заңдылығын табу керек. 11 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 12 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 13 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 14 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 15 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 16 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 17 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 18 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 19 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 20 Аралас есептiң шешiмiн табу керек: 1-мысал. Жылуөткізгіштік теңдеуінің бастапқы температурасының таралуы теңдігімен анықталатын есебінің шешімін табу керек. Шешуі Бұл шектелмеген стержень туралы есеп болғандықтан формуланы қолданамыз. Есептің шарты бойынша шешімін аламыз. Өйткені функциясы аралығында тұрақты температураға тең де, осы интегралдан тыс жерде температура нөлге тең. Бұл нәтижені ықтималдық интегралы бойынша түрлендірейік. Ол үшін , деп алып шешімді мына түрде жазамыз. Сонымен шешімді төмендегі түрде жазуға болады: 2-мысал Берілген егер функцияны Фурьенің интегралдық формуласы бойынша жіктеу керек. Шешуі Фурье жіктеуі мына түрде жазылады Енді және функцияларын есептейік. , Сондықтан берілген функцияның жіктелуін мына түрде жазамыз. 3-мысал Бастапқы температурасы түрінде берілген жылуөткізгіштік теңдеуінің шешімін табу керек. Шешуі Есептің шешімін табу үшін формуласын пайдаланамыз. Бұл өрнекте мынадай түрлендірулер орындалды: және
, Қорытындысында берілген есептің шешімі түрінде жазылады. Мұндағы - ықтималдықтар интегралы. Дербес жағдайда, егер болса, онда . жүктеу/скачать 75,18 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|