Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии
жүктеу/скачать 103,4 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Задача 6.2.
|
§6. Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии Использование законов сохранения существенно облегчает изучение движения различных систем, так как в этом случае исходными являются не ускорения, а скорости. Поэтому при решении любой задачи сначала надо посмотреть, не выполняются ли какие нибудь законы сохранения в данной системе. Если вопросы задачи поставлены о координатах или смещениях, то после записи соотношения, выражающего закон сохранения, надо решить написанное дифференциальное уравнение применяя изученные методы. Рассмотрим несколько примеров такого рода. Задача 6.1. Две одинаковые доски длиной 2 м каждая, шарнирно концами опираются на гладкую горизонтально плоскость. В начальный момент доски неподвижны и угол между ними равен . За каждое время доски упадут на плоскость, если систему предоставить самой себе? Трением в шарнире пренебречь. Решение. В данной системе трение отсутсвует, а внешние силы (силы тяготения и реакции опоры) направлены по вертикали и потенциальны. Поэтому в системе сохраняется проекция импульса на горизонтальное направление и сохраняется механическая энергия. Из сохранения горизонтальной проекции импульса следует, что точка А будет двигаться по вертикали АО, а движение досок будет симметричным. Закон сохранения энергий дает соотношение (6.1) Где m – масса доски, J = – ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, – половина угла между досками. Связь скорости движения центра масс доски с угловой скоростью ее вращения следует из факта движения точки А по вертикали. Пусть начало координат находится в точке О, а ось у направлена по ОА. Тогда координаты центра масс доски, находящейся справа, равны: (6.2) Дифференцируя по времени эти соотношения и выражая скорость движения центра масс , находим (6.3) Из уравнения (6.1) (6.4) Извлекая квадратный корень и разделяя переменные и , получаем уравнение в разделенных переменных: (6.5) Интегрируя которое по в пределах и по в пределах , находим искомый промежуток времени : (6.6) Для численной оценки сделаем замену переменной: (6.7) И подынтегральное выражение разложим в ряд по степеням (6.8) Вычисляя полученные интегралы с помощью общей формулы (6.9) находим (6.10) Задача 6.2. Горизонтальный диск массы М и радиуса R может свободно вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через его центр О. На диске нарисована окружность вдвое меньшего радиуса, проходящая через центр диска (рис. 6.2). Человек массы т проходит по нарисованной окружности, выходя из точки О и возвращаясь в эту же точку. На какой угол повернется диск к моменту завершения обхода Решение. В данной системе сохраняется проекция момента импульса на ось вращения (остается все время равной нулю). Если человек проходит контур, двигаясь, например, по часовой стрелке, то диск должен вращаться в противоположном направлении. Обозначим угол поворота диска через . Угловая скорость движения человека будет складываться из угловой скорости движения человека относительно диска (см. рис. 6.2). Записываем условие равенства нулю проекции момента импульса на ось вращения, считая обе угловые скорости положительными: (6.11) Отсюда находим связь между углами и . Разделяя переменные, получаем (6.12) Мы видим, что в случае, когда заранее не учитывается направление вращения, знак минус появляется автоматически, говоря о том, что вращения происходят в противоположные стороны. Если бы в (6.11) были учтены истинные направления вращения, то знака минус в (6.12) мы бы не получили. При полном обходе контура угол меняется от 0 до , а угол – от 0 до искомого конечного значения. Интегрируя левую и правую части (6.12) в указанных пределах, находим ответ: (6.13) Задача 6.3. Внутри неподвижной сферической чашки радиуса R может двигаться тонкий однородный стержень длины , так что он остается в вертикальной плоскости, проходящей через центр сферы (рис. 6.3). Если пренебречь трением, то стержень совершает незатухающие колебания.Определить их частоту. Решение. Здесь мы имеем пример задачи, в которой из закона сохранения дифференцированием можно получить уравнение движения. Этот пример часто используют при изучении колебательного движения, так как, записав уравнение свободных колебаний в канонической форме , мы сразу определяем квадрат циклической частоты колебаний, выписывая коэффициент при неизвестной функции В данном случае выполняется закон сохранения механической энергии. Кинетическую энергию стержня запишем по формуле Кенига: (6.14) где – скорость центра масс, J – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Учитывая, что , где = (см. рис. 6.3), и (m – масса стержня), находим жүктеу/скачать 103,4 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|