1. 1Жиын ұғымы. Шекті және шексіз жиындар. Жиындарды анықтау тәсілдері.Ішкі жиындар. Берілген жиынның барлық жиынтығы. К- элемент жиындарының саны туралы n- элемент жиынтығы
жүктеу/скачать 336,61 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Кантор-Бернштейн теоремасының дәлелдеуi Лемма 1.8
- Лемма 1.9
- Теорема 1.10
| Кантор-Бернштейн теоремасы
Егер A жиыны B жиынының қандай да бiр iшкi жиынымен тең қуатты болса, онда A жиынының қуаты B жиынының қуатынан кiшi немесе тең деп (|A|£|B|) есептейміз. Осылай анықталған £қатынасы төмендегiдей қасиеттерге ие. Егер A және B жиындары тең қуатты болса, онда |A|£|B| болады. Жеке жағдайда |A|£|А.| (рефлексивтілік). |A|£|B| және |B|£|С| болса, онда |A|£|С| (транзитивтiлiк). Егер |A| £ |B| және |B| £ |A| болса, онда |A|=|B| (антисимметриялық). Келтірілген қасиеттердiң бiрiншiсi анықтамадан тiкелей шығады. Транзитивтiлiк қасиет инъективті бейнелеулердің композициясы (бернесі) да инъективті болатындығынан шығады. Үшінші қасиет Кантор-Бернштейн теоремасы атымен белгiлi және бұл қасиетті дәлелдеу оңай емес. Кантор-Бернштейн теоремасының дәлелдеуi Лемма 1.8– инъективті бейнелеу болсын. Егер– индекстік жиын және кез келгенүшінболса, онда . Дәлелдеуі. Кез келгенэлементін алайық. Онда қандай да біртабылып,болады. Алболғандықтан,және . Онда , яғни . Кері тиістілікті дәлелдеу үшін келтірілген дәлелдеудің соңынан бастап кері қарай жүреміз. Лемма 1.9 Егер–жиынының қандай да бірішкі жиынына биекция болса, онда кез келгенішкі жиыны үшінболатындайбиекциясы табылады. Дәлелдеуі. , ,…, белгілеулерін енгізейік жәнежиынын қарастырайық. теңдігінің орындалатынын көрсетеміз. Солдан оңға. . Ондаболғандықтан,немесеболады.болсын. ОндаЕгерболса, ондаболатындайсаны табылады. Ал(1.8-ші лемма) болғандықтан,Демек,Соныменболатынын көрсеттік. Оңнан солға.болсын. Онданемесеболады.болса, ондажиынының анықтамасы бойыншаЕгерболса, онда . Алболғандықтан, . Сонымен . Ендеше . бейнелеуін келесі тәртіппен құрамыз: Яғнибейнелеуіжиынында бірлік (тепе-тең) бейнелеу және ол жиынындабейнелеуімен бірдей болады.болғандықтан, Алболғандықтан,жәнеинъекция себепті . Демек . Ендешеинъекция, әрі . Лемма дәлелденді. Келесі теорема жиындар теориясының іргесін бекітетін негізгі тұжырымдардың бірі болып саналады. Теорема 1.10 (Кантор-Бернштейн). Егержиынынанжиынының меншікті ішкі жиынына,жиынынанжиынының меншікті ішкі жиынына биекциялар табылса, ондажиынынанжиынына биекция табылады. Дәлелдеуі. ,биекциялар жәнеболсын.композициясын қарастырайық. Мұндаболады.жәнеинъекциялар болғандықтан, олардың композициясы (бернесі)та инъекция болады. Онда 2 лемма бойынша кез келгенүшінбиекциясы табылады.деп алайық. Онда . Бұдан . Ендешеинъективті функция болғандықтан,бейнелеуіжиынынанжиынына биекция болады. Теорема дәлелденді. Кантор-Бернштейн теоремасы жиындардың тең қуаттылығын мейлінше тиімді жолмен көрсетуге мүмкіндік береді. Мысалы, машина дөңгелегі мен кез келген шар тең қуатты болады. Өйткені кез келген шардан дөңгелек қиып алуға болады. Өз кезегінде дөңгелектен де шар қиып алуға болады. Демек, олар Кантор – Бернштейн теоремасы бойынша тең қуатты болады. Енді қуаттары тең болмайтын жиындар болатынын көрсетуге арналған Кантордың диагоналдық тәсілімен танысайық. жүктеу/скачать 336,61 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|