1. 1Жиын ұғымы. Шекті және шексіз жиындар. Жиындарды анықтау тәсілдері.Ішкі жиындар. Берілген жиынның барлық жиынтығы. К- элемент жиындарының саны туралы n- элемент жиынтығы
жүктеу/скачать 336,61 Kb.
|
| 3-мысал.
а) кез келген натурал сан n (n элементтен тұратын ақырлы жиынның қуаты); ә) және т.б. Натурал сандар жиынына эквивалентті жиындар саналымды жиындар деп аталынады. Саналымды жиын туралы мынадай теорема бар: 1-Теорема. Қандай да бір жиын саналымды болу үшін, оның элементтерін шексіз тізбек түрінде кескіндеу қажетті және жеткілікті. 2-Теорема. Саналымды жиынның кез-келген ішкі жиыны саналымды жиын. 3-Теорема. Ақырлы немесе саналымды жиындардың бірігуі-саналымды жиын. Салдар. Рационал сандар жиыны саналымды жиын. Шынында да барлық оң рационал сандарды шексіз кесте түрінде өрнектеуге болады: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, … 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, … 3/1, 3/2, 3/3, 3/4., 3/5, … 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, … …………………………, Бұл кестені сол жақ жоғарғы бұрыштан бастап диагональ бойымен айналуға болады. Бірақ барлық шексіз жиындар саналымды емес. Кантор теоремасы. [0;1] кесіндісіндегі барлық нақты сандар жиыны саналымды емес. Теореманы кері жорып дәлелдейміз . Айталық бұл жиын саналымды болсын. Демек, бұл жиынның барлық элементтерін шексіз тізбек түрінде өрнектеуге болады. Α1 = 0,а11а12а13а14… Α2 = 0,а21а22а23а24… Α3 = 0,а31а32а33а34… ……………………… Төмендегі тәртіппен В = b1b2b3b4…шексіз ондық бөлшек тізбегін b1 ≠ a11, b2 ≠ a22, b3 ≠ a33 және т.б. құрайық. Бұл бөлшек айтылған тізбекке енбейді, себебі тізбектің бірінші мүшесінен оның бірінші цифры өзгеше, екіншісінен екінші цифры өзгеше т.б. Ендеше [ 0;1] кесіндісінің барлық нақты сандар жиыны саналымды емес. Бұл жиынның қуаты континуум (С қуатты), ал С қуатты жиын континуальды жиын деп аталады. Теорема. [a,b] кесіндісінің бардлық нақты сандар жиыны континуум қуатты. Шынында да y=a+(b - a)x функциясы [ 0; 1] және [ a; b] кесіндісінің нүктелерінің арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнатады, демек [ a; b] кесіндісіндегі нақты сандар жиынының қуаты [ 0; 1] кесіндісіндегі нақты сандар жиынының қуатындай. Теорема. Континуум қуатты ақырлы немесе саналымды жиындардың жиыны – континуум қуатты жиын болып табылады. 1 Салдар. Барлық нақты сандар жиыны континуум қуатты. 2 Салдар. Барлық иррационал сандар жиынының қуаты С. I=R/Q Диагональды аргумент (кантордың диагональды әдісі) — кантор теоремасының дәлелі, берілген жиынның барлық ішкі жиындарының жиыны жиынның өзіне қарағанда көбірек қуатқа ие. Атап айтқанда, табиғи қатардың барлық ішкі жиындарының жиыны алеф-0-ден үлкен қуатқа ие, сондықтан ол есептелмейді. Егер А жиыны натурал сандар жиынымен тең қуатты болса, оны саналымды жиын деп атаймыз. Белгiлеуi: |A| = w. Жоғарыдағы анықтама бойынша, егер А жиыны саналымды болса, оның элементтерiн натурал сандар арқылы нөмiрлеуге болады. Яғни символды түрде А={}. Бүтiн сандар жиыны Z және жұп натурал сандар жиыны 2N={0,2,4,…} саналымды жиындар мысалдары болады. Төмендегi теорема саналымды жиындардың көп қолданылатын қарапайым қасиеттерiн жинақтайды. жүктеу/скачать 336,61 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|