1-блок Метрикалық кеңістікке анықтама беріңіз. Мысал келтіріңіз
Анықтама Нормаланған сызықтық кеңістік толық болса, оны Банах кеңістігідеп атайды. Анықтама
жүктеу/скачать 1,92 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Мысалдар. 1.
- Векторлық нормаланған Е кеңістігінде
- Векторлық нормаланған Е кеңістігінде және
- Гильберт кеңістіктері туралы сипаттама жазыңыз. Мысал келтіріңіз. Анықтама
| Анықтама Нормаланған сызықтық кеңістік толық болса, оны Банах кеңістігідеп атайды.
Анықтама Айталық - Банах кеңістігі, ал оның ішкі жиыны болсын. Егер жиынының өзі сызықтық кеңістік құрайтын болса және ол кеңістігінің нормасы бойынша толық кеңістік болса, онда кеңістігі кеңістігінің ішкі кеңістігі деп аталады. Теорема Кез-келген өлшемді нормаланған векторлық кеңістігі өлшемді Евклид кеңістігіне изоморфты, сондықтан олар өзара изоморфты. Дәлелдеуі: кеңістігінің базисін арқылы белгілейік. Онда кез-келген үшін теңдігі орындалады, мұндағы сандар. Енді T сызықты түрлендіруді өрнегімен анықтайық, мұндағы у компоненттері болатын вектор. Бұл түрлендіру -ді жиынына өзара бірмәнді үзіліссіз түрлендіреді. Мысалдар. 1. Айталық кеңістігінде түріндегі векторлардың жиынын А әрпімен белгілейік. Осы түрдегі екі вектордың қосындысы да, санға көбейтіндісі де осы түрдегі вектор болатыны, яғни А жиынында жататыны айқын. Демек, А жиыны сызықтық кеңістік болып құралды. Енді тізбегі х векторына жинақталатын болса, онда кеңістігіндегі жинақтылық – координаттар бойынша жинақтылық болғандықтан, х векторының координаттары , демек, оның соңғы координаты , яғни . Векторлық нормаланған Е кеңістігінде және нормаларын өзара эквивалентті нормалар екендігін көрсетіңіз. Анықтама. Векторлық нормаланған Е кеңістігінде және нормалары берілсін. Егер Е-гі норма бойынша жинақталатын кез-келген тізбек норма бойынша да жинақталатын және керісінше де, болса, онда және нормаларын өзара эквивалентті нормалар деп атайды. Векторлық нормаланған Е кеңістігінде және нормаларын өзара эквивалентті нормаларға байланысты теоремаларын айтып беріңіз. Теорема Векторлық кеңістіктегі және нормалары үшін сандары табылып, , теңсіздіктері орындалғанда және тек сонда ғана олар өзара эквивалентті. Теорема Ақырлы өлшемді векторлық кеңістікте кез-келген екі норма өзара эквивалентті. Ондағы қарастырылып отырған норма бойынша тек жалғыз ғана ашық жиындар, тұйық жиындар т.т. жүйесі бар болады. Дәлелдеуі: Нормалардың эквиваленттігі транзитивті болуына кез-келген норма Евклид нормасына (Мұндағы кейбір базасындағы х векторының координаттары) эквивалентті болатынын көрсету жеткілікті. Кез-келген үшін (1) () кез-келген үшін табылып, теңсіздіктері орындалатынын көрсетейік. Қарсы жорып тізбегі үшін теңсіздігі орындалсын делік. Егер деп белгіл есек, онда (2) болады. Сондықтан кез- келген k,m үшін . Евклид кеңістігіндегі шар жинақты болатынынан тізбегінен жинақталатын тізбекше бөліп алуға болады. Жаңадан белгілеулер енгізбеу үшін сол тізбегінің өзі кейбір векторына жинақталады деп есептейміз. Бұл жағдайда (2) теңдікте шекке көшсек, онда шығады да . Бірақ (1) теңсіздік бойынша болады. Ал екінші жағынан болады да . Шыққан қайшылық теореманы дәлелдейді. Гильберт кеңістіктері туралы сипаттама жазыңыз. Мысал келтіріңіз. Анықтама Егер L – сызықтық кеңістігінде кез-келген үшін екі айнымалылы, сан мәнді функция анықталған және ол төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болса: 1. (симметриялық қасиет); 2. (аддитивтік қасиеті); 3. (комплекс кеңістік жағдайында ) (біртектілік қасиеті) 4. және , тек қана болғанда ғана мүмкін, онда L кеңістігінде скаляр көбейтінді анықталған дейміз. 1-4 шарттарыскаляр көбейтіндінің аксиомалары деп аталады. Скаляр көбейтінді анықталған сызықтық кеңістік, әдетте, Евклид кеңістігі деп аталады. Евклид кеңістігін Е әрпімен белгілейік. Егер анықтама шарты бойынша скаляр көбейтіндінің мәндері нақты немесе комплекс сандар болса және векторлар нақты немесе комплекс сандарға көбейтілетін болса, онда анықталған Евклид кеңістігі нақты немесе комплекс кеңістік деп аталады. жүктеу/скачать 1,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|