1-блок Метрикалық кеңістікке анықтама беріңіз. Мысал келтіріңіз
жүктеу/скачать 1,92 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Дәлелдеуі: Қажеттілік.
- Гилберт кеңістігінің ортогональ жіктелуін түсіндіріп беріңіз.
- Анықталған Евклид кеңістігі нақты немесе комплекс кеңістігіне түсініктеме беріңіз.
- Табиғи норма жайлы не білетініңізді жазыңыз.
- ] гильберт кеңістігінде х(t) = sin 3t және у(t) = cos 5t элементтерінің нормасын арасындағы бұрышын және арақашықтығын табыңыз.
| Салдар кеңістігі ортогональды қосындыға жіктеледі, яғни
Лемма сызықты көпбейнесі кеңістігінде барлық жерде тығыз болу үшін, көпбейнесіне ортогональ нөлден өзгеше элементтің болмауы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеуі: Қажеттілік. Айталық және элементі бар болсын , онда . Демек , ортогональ болады, олай болса Жеткілікті. Айталық Олай болса, элемен табылып, алдыңғы теорема бойынша жіктелуі бар болады. Мұндағы , ал болғандықтан Ал бұл теорема шартына қарама қайшы, яғни теорема дәлелденді. Гилберт кеңістігінің ортогональ жіктелуін түсіндіріп беріңіз. Айталық Н – Гильберт кеңістігі, Н1 – оның (толық) ішкі кеңістігі болсын. Теорема Кез-келген векторын элементі мен оған ортогональ векторының қосындысына жіктеуге болады және қосындысына пен қосылғыштары жалғыз түрде ғана табылады. Дәлелдеуі. Егер теореманың шарты орындалса векторы Н1 ішкі кеңістігінде жатса, онда , яғни бұл нөлдік векторға тең болатын мардымсыз жағдай. Енді және (*) болсын. Инфинимумның анықтамасының шарты бойынша , кезде болатын тізбегі бар болады. Осы тізбек фундаменталь тізбек екенін дәлелдейік. Сол мақсатпен алдымен және теңдіктерін ескере отырып, және векторларына параллелограмның диагоналдары туралы теореманы қолданайық:, осыдан, (1) Бұл (1) теңдігінің оң жағындағы алғашқы екі қосылғыштар (*) бойынша санынан кем емес, және кезде, екеуі де осы санына ұмтылады. Ал соңғы қосылғышта векторы ішкі кеңістігінің элементі болғандықтан, , сондықтан, кезде Демек, фундаменталь тізбек, ал толық ішкі кеңістік болғандықтан, . Енді векторы ішкі кеңістігіне ортогональ екенін дәлелдейік. Кез-келген векторы мен кез-келген саны үшін оның тиісті , демек, -ға тәуелді квадраттық функцияның ең кіші мәні болғанда қабылданады. Соған байланысты, оның нүктесінде туындысы , яғни . Сонымен векторы кез-келген векторына, демек, ішкі кеңістігіне ортогональ вектор. Осымен векторының және оған ортогональ векторының қосындысына жіктелетіндігі дәлелденді. Айталық, енді жіктелуінің бір мәнді екенін дәлелдеу үшін және векторлары бар және , яғни векторы екі түрде жіктелген деп жориық. Онда енді осы теңдіктің екі жағын векторына скаляр көбейтейік: онда, , ал оған ортогональ вектор. Демек, , осыдан екені шығады. Теорема толық дәлелденді. Анықталған Евклид кеңістігі нақты немесе комплекс кеңістігіне түсініктеме беріңіз. Егер L – сызықтық кеңістігінде кез-келген үшін екі айнымалылы, сан мәнді функция анықталған және ол төмендегі шарттарды қанағаттандыратын болса: 1. (симметриялық қасиет); 2. (аддитивтік қасиеті); 3. (комплекс кеңістік жағдайында ) (біртектілік қасиеті) 4. және , тек қана болғанда ғана мүмкін, онда L кеңістігінде скаляр көбейтінді анықталған дейміз. 1-4 шарттарыскаляр көбейтіндінің аксиомалары деп аталады. Скаляр көбейтінді анықталған сызықтық кеңістік, әдетте, Евклид кеңістігі деп аталады. Евклид кеңістігін Е әрпімен белгілейік. Егер анықтама шарты бойынша скаляр көбейтіндінің мәндері нақты немесе комплекс сандар болса және векторлар нақты немесе комплекс сандарға көбейтілетін болса, онда анықталған Евклид кеңістігі нақты немесе комплекс кеңістік деп аталады. Айталық, комплекс кеңістік жағдайында симметриялық шарты түрінде жазылады, яғни элементтердің орындары ауысқанда скаляр көбейтіндінің мәні түйіндес комплекс санға өзгереді. Табиғи норма жайлы не білетініңізді жазыңыз. Комплекс кеңістік жағдайында симметриялық шарты түрінде жазылады, яғни элементтердің орындары ауысқанда скаляр көбейтіндінің мәні түйіндес комплекс санға өзгереді. 2-ші және 3-ші аксиомалардың шарттары, бірінші аргументке қатысты болса да, симметриялық аксиоманың шартты салдарынан олар екінші аргумент үшін де орындалады. Шындығында, (1) Осыған ұқсас, 3-ші аксиоманың шатрындағы санын екінші аргументтің қасынан көбейтіндінің алдына шығаруға болатынын, яғни екенін байқаймыз. Бұл теңдік комплекс кеңістік жағдайында түрінде болады. Шынындығында, (2) кеңістігінде (2.3.1) теңдігімен анықталған скаляр көбейтінді үшін 1-4 аксиомаларының шарттарының орындалатынын тексеру қиын емес. Сондықтан Евклид кеңістігінің мысалы болады. Евклид кеңістігінде скаляр көбейтінді арқылы элементінің нормасын (3) теңдігімен анықтауға болады. Норма аксиомалары орындалатынын скаляр көбейтіндінің аксиомаларының салдары ретінде шығады. Шындығында, норманың бірінші аксиомасының шарты скаляр көбейтіндінің төртінші аксиомасының шартынан тікелей шығатыны айқын. Норманың 2-ші аксиомасының шарты орындалатыны да скаляр көбейтіндінің 3-ші қасиетінің шартынан тікелей шығады: . Енді (3) теңдігімен анықталған норма үшбұрыш теңсіздігін қанағаттандыратынын дәлелдейік. Сол мақсатпен кез-келген элементтері және кез-келген саны үшін элементінің скаляр квадратын қарастырайық: (4) Скаляр көбейтіндінің 4-ші аксиомасының шарты бойынша элементтің скаляр квадраты теріс емес сан, демек, санының мәні қандай болса да мәнімен анықталады. Басқаша айтқанда, квадрат үш мүшенің дискриминанты оң сан емес: , яғни . (5) Осы теңсіздіктің екі жағынан квадрат түбір алып, мына түрде жазайық: (6) Соңғы теңсіздіктен скаляр көбейтіндінің абсолют шамасы көбейткіш векторлардың нормаларының көбейтіндісінен аспайтындығы көрініп тұр. Бұл (6) теңсіздігі Коши –Буняковский - Шварц теңсіздігі деп аталады. Сонымен, енді үшбұрыш теңсіздігінің дәлеліне оралайық. (4) теңдігінде болғанда, норманың анықтамасы (3) бойынша мына теңдікке келеміз: , осыдан (6) теңсіздігін қолданып, келесі теңсіздікті аламыз: (7) Бұл теңдеудің екі жағынан квадрат түбір алса, (7) теңсіздігінен үшбұрыш теңсіздігі шығады. Осымен (3) теңдігі арқылы норма анықталатыны дәлелденді. Бұл норманы Евклид кеңістігіндегі табиғи норма деп атаймыз. үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігінде x(t)=2t -7 элементінің нормасын табыңыз. үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігінде x(t)=6t -1 элементінің нормасын табыңыз. үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігінде x(t)= t + 12 элементінің нормасын табу керек. кеңістігінде және элементтерінің нормасын , арасындағы бұрышын және арақашықтығын табыңыз. а) кеңістігінде және элементтерінің нормасын , арасындағы бұрышын және арақашықтығын табыңыз. а) кеңістігінде x= (1, 1/5, 1/25, 1/125,…) элементінің нормасын табу керек. L2[ -; ] гильберт кеңістігінде х(t) = sin 3t және у(t) = cos 5t элементтерінің нормасын арасындағы бұрышын және арақашықтығын табыңыз. үзіліссіз дифференциалданатын функциялар кеңістігінде x(t)= элементінің нормасын табу керек. кеңістігінің нормаланған сызықтық кеңістік екендігін көрсетіңіз. жүктеу/скачать 1,92 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|