1 I. Основы теории массового обслуживания
V.1. Пуассоновский поток
жүктеу/скачать 1,42 Mb. Pdf көрінісі
|
| V.1.
Пуассоновский поток Напомним, что в общем случае Пуассоновский поток является ординарным, и потоком без последствий. Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 11 Случайная величина, которая характеризует количество заявок в потоке, поступающих в СМО на временном интервале [t 0 ; t 0 +τ], распределена по закону Пуассона (вероятность появления m заявок за время τ): , где m – количество заявок, a – параметр Пуассона, , λ – интенсивность или плотность потока (среднее число заявок в единицу времени). λ математическое ожидание дисперсия В общем случае параметр Пуассона рассчитывается как: λ τ , т.е. a – математическое ожидание числа событий (среднее число событий в рассматриваемом интервале τ). Если λ(t) = const, то это стационарный поток Пуассона (простейший), и в этом случае a=λτ, иначе – нестационарный поток. Вероятность непоявления событий (т.е. когда m = 0): . Если интенсивность потока велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается (быстрее наступит событие). Вероятность появления хотя бы одного события: Очевидно, что при возрастании времени наблюдения вероятность появления хотя бы одного события стремится к единице: P * →1 (событие рано или поздно произойдёт). Таким образом, в случае простейшего потока (a=λτ) длительность временного интервала между двумя последовательными заявками имеет показательное распределение с параметром λ: λ 1 λ 2 1 P 0 τ λ 1 < λ 2 Вероятность непоявления события для простейшего потока в зависимости от времени наблюдения. Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 12 , где λ – параметр масштаба, интенсивность случайной величины. λ математическое ожидание дисперсия Это распределение – единственное непрерывное распределение, обладающее свойством отсутствия последствий, т.е. . Это свойство называется Марковским свойством. Пример Чтобы смоделировать Пуассоновский простейший поток, надо смоделировать временной интервал между заявками (для этого воспользуемся методом обратной функции): . (1) Рассмотрим поток покупателей интернет-магазина, приходящих в среднем 6 человек в сутки. Необходимо промоделировать процесс в течение 100 часов. Значит, интенсивность потока: . Время наблюдения: T н = 100(час). Математическое ожидание (среднее время) длительности между двумя покупателями: . (т.е. в среднем приходит один покупатель за 4 часа). . Количество смоделированных τ i равно количеству покупателей за Т н . В среднем это количество будет равно τ 0 τ 0 +τ 1 T н Компьютерное моделирование. СМО. Лекция №1 13 человек за 30100 часов. Пример Приведем пример моделирования неординарных событий (когда в один момент может появиться несколько событий). Т.е. необходимо моделировать и число событий. Например, вагоны на ж/д станцию пребывают в составе поезда в случайные моменты времени: ординарный поток поездов. При этом в составе поезда может быть разное (случайное) количество вагонов. В этом случае о потоке вагонов говорят как о потоке неординарных событий. Пусть в среднем в 68 случаях за 100 приходит от 6 до 14 вагонов в составе поезда и их число распределено по нормальному закону, т.е. . Т.е. после того, как мы смоделировали τ i , надо смоделировать число вагонов. Пример Каково среднее время суточного простоя оборудования технологического узла, если узел обрабатывает каждое изделие случайное время, заданное интенсивностью потока случайных событий λ 2 ? При этом экспериментально установлено, что производят изделия на обработку тоже в случайные моменты времени, заданные потоком λ 1 партиями. До начала моделирования Т=0 изделий на складе не было. Необходимо промоделировать этот процесс в течение Т н =100. |