§1 Классикалық теориялық физика
§19 Сызықтық гармоникалық осциллятор
жүктеу/скачать 1,76 Mb.
|
Кванттық механика (лекция)
- Бұл бет үшін навигация:
- 20. Кванттық күйлердің жұптылығы.
§19 Сызықтық гармоникалық осциллятор Классикалық механикада сызықтық гармоникалық осцциллятор деп кеңістіктің қандайда бір нүктесіне қатысты F=-kx серіпімді күшінің әсерінен тербелмелі қозғалыс жасап тұрған материалдық нүктені айтады. Мұндай бөлшектің қозғалыс теңдеуі m Ал бұл теңдеудің шешімі мынадай: x=A ) гормоникалық функция. Мұндағы ω= -тербеліс жиілігі. Бұл шешімнен нүктенің гормоникалық тербеліс жасайтыны көрініп тұр. Мұндай осциллятордың потенциялдық энергиясы былай анықталған. . Тербеліс жиілігі мен серіпімділік коэффициентінің арасындағы байланысты ескере отырып, бұл өрнекті мына түрде жазуға болады: V(x)= m . (4.58) Енді осциллятор жөніндегі кванттық есепті қарастыралық. Яғни бөлшек (4.58) өрнегімен анықталған потенциалдық өрісте қозғалып жүрсін делік. Онда бұл жағдай үшін Шредингердің стационар теңдеуі мына түрде жазылады: . (4.59) Жүйенің толық энергиясы потенциалдық энергияның шектеусіздігі мәнінен әрқашанда кем болғандықтан, мұндай бөлшектің қозғалысы кеңістіктің белгілі бір аймағында ғана бола алады; яғни қозғалыс финитті, ал энергиясы дискретті мәндер қабылдайды. Енді осы (4.59) теңдеуінің шешімін қарастыралық. Теңдеуді шешуді жеңілдету үшін мұндағы Е және х айнымалыларынан жаңа өлшемсіз ξ және ε айнымалыларына өту қажет. Бұл өлшемді және өлшемсіз айнымалылар бір-бірімен былай байланысқан: ξ , ε= , (4.60) мұндағы -осциллятор параметрі жеп аталады, ал . Жаңа айнымалыларда Шредингер теңдеуі мына түрде жазылады: (4.61) Бұл теңдеудің жалпы шешімін іздестірместен бұрын, алдымен толқындық функцияның кездегі асимпотикалық сипатын анықтап алған жөн. Бұл кезде ξ-дің мәні шексіз артатын болғандықтан, -пен салыстырғанда ε шамасының елеусіз аз екенін ескере отырып, жоғарыдағы (4.61) теңдеуін мына түрде жуықтап жазуға болады: (4.62) Бұл теңдеудің шешімі Ψ= түрінде іздестіріледі. Осы функцияны (4.62) теңдеуіне апарып қоя отырып, λ= екендігін аламыз. Яғни (4.62) теңдеуінің жалпы шешімі мынадай: . (4.63) Дискретті спектр үшін функцияның шектілік шарты орындалып, аргумент шексіздікке ұмтылған кезде, яғни болғанда, толқындық функция нөлге ұмытылуы тиіс. Бұндай болуы үшін (4.63) өрнегінде =0 болуы шарт. Сонымен толқындық функция шексіздікте функциясы тәрізді өзгереді екен. Бұдан әрі толқындық функцияныңшексіздіктегі осы сипатын ескере отырып, (4.61) теңдеуінің жалпы шешімін мына түрде іздейді: Ψ(ξ)= , (4.64) Мұндағы υ(ξ) шамасы ξ-дің қандайда бір полиномы, яғни υ(ξ)= , κ=0,1,2,… (4.65) Жоғарыдағы (4.64) функциясының туындыларын тауып, оларды (4.61) теңдеуіне апарып қойса, онда υ(ξ) функциясына қатысты мына теңдеу алынады: (4.66) Бұдан әрі осы теңдеуге υ(ξ) полиномының (4.65) жіктеуін әкеліп қойып, жіктеу коэффициенттеріне қатысты Теңдеуін алуға болады. Квадрат жақшаның ішіндегі өрнектің бірінші құрамдас бөлігінің коэффициенті κ(κ-1) болғандықтан, ол κ=0 және κ=1 болған кезде нөлге тең болып кетеді. Сондықтан ξ-дің ең үлкен дәрежесінің алдындағы коэффициент нөлден ерекше болуы үшін бірінші қатарды екі бірлікке ығыстыру керек. Онда . (4.67) Бұл теңдеу кез келген нөлден ерекше ξ үшін осы ξ-дің барлық дәрежелерінің алдындағы коэффициенттер нөлге тең болған жағдайда ғана орындалады. Онда -лардың алдындағы коэффициенттерді нөлге теңестіре отырып, мынадай рекуренттік қатынас алуға болады: . (4.68) Бұған дейін υ(ξ) көпмүшелігін анықтайтын (4.65) өрнегіндегі мүшелердің саны туралы ешнәрсе айтылған жоқ. Бұл сан шекті ме, шексіз бе? Әрине, жалпы жағдайда, ξ шексіздікке ұмтылған кезде аса үлкен және аса көп мүшелері бар (4.65) қатары шексіздікке Ψ= (4.69) Өрнегіндегі көбейткішінің нөлге ұмытылуымен салыстырғанда тезірек ұмытылады да, Шредингер теңдеуінің шешімінің шектілік шарты бұзылады. Шындығында, k кезде (4.68)-тен екені шығады. Қатардың коэффициенттері үшін де дәл сондай қатынас орындалады. Сонымен аргументтің жеткілікті үлкен мәндерінде бүкіл (4.69) қатары Ψ функциясы тәрізді өзгеріп, оның мәні шексіздікке ұмтылады. Ал нақтылы кванттық жүйенің күйін сипаттайтын толқындық функция шектелген болуы шарт. Осыған байланысты толқындық функцияның шектілік шарты бұзылмау үшін (4.65) қатары қандай да бір k=n-інші мүшесінде үзілуі тиіс. Бұл үзілу шарты (4.68) өрнегінен көрініп тұрғандай, ε=2n+1 (4.70) теңдігін береді. Бұл жағдайда (4.65) қатарының мүшелері мына түрде шектеледі: υ(ξ)= (4.71) Жоғарыдағы (4.68) рекуренттік қатынасы бір-бірімен жұптылығы бірдей коэффициенттерді байланыстырады. Сондықтан, егер n-жұп сан болса, онда барлық тақ коэффициенттер нөлге тең болуы керек те, n-тақ болса, керісінше, жұп коэффициенттер нөлге тең болуы керек. Сонымен (4.70) өрнегі сызықтық гармоникалық осциллятордың энергиясының квантталған мәндерін анықтайды. Бұдан әрі (4.60) теңдігін ескере отырып, энергия үшін Ε=(n+ )ћω (4.72) өрнегін аламыз. Бұған сәйкес толқындық функция мына түрде жазылады: . (4.73) Бұл жердегі кванттық сан n=0,1,2,… болатын мәндер қабылдайды. Ал n болатын негізгі күйі үшін (4.74) Бірінші қозған күй, яғни n=1 үшін: бұдан әрі (4.68) рекуренттік қатынастарын пайдалана отырып, басқа да қозған күйлердің толқындық функцияларын оңай табуға болады. Мысалы (4.68) өрнегінен энергиясы тең екінші қозған күй үшін теңдігін аламыз, ал сәйкес полином υ(ξ)= . Сонымен (4.71) жіктеуіндегі барлық коэффициенттердің мәндері бастапқы және коэффициенттері арқылы анықталады. Ал бұл коэффициенттердің мәндерін байланысқан күйлердің толқындық функцияларын нормалау шартынан анықтайды. Жоғарыдағы функциясы математикадан жақсы белгілі Эрмит полиномдары байланысқан (6-қосымшаны қараңыз). Бұл олиномның жалпы түрі мынадай: . (4.75) Мұндағы жіктеу коэффициенттері үшін мынадай рекуренттік қатынас орындалады: (4.76) Эрмит полиномдары жоғарыдағы (4.66) теңдеуінің ε-1=2n және n=0,1,2,… болған кездегі төмендегідей дербес жағдайының шешімі болып табылады: Эрмит полиномдарының төмендегінди маңызды қасиеттерін атап өткен жөн: Эрмит полиномдары мынадай өрнекпен анықталады: . (4.78) Бұл өрнек (4.77) теңдеуінің жалпы шешімі екеніне оны осы теңдеуге тікелей апарып қою арқылы көз жеткізуге болады. Эрмит полиномдары мынадай ортонормалау шартын қанағаттандырады. dξ= (4.79) Эрмит полиномдары үшін мынадай рекуренттік қатынастар орындалады: ξ (ξ)=n (4.80) (4.81) Эрмит полиномдарын пайдалана отырып, сызықтық осциллятордың n-ші күйінің толқындық функциясын мына түрде жазуға болады: (4.82) Мұндағы нормалаушы көбейткіші жоғарыдағы (4.79) қатынасынан мына түрде оңай анықталады: . (4.83) Сызықтық осциллятордың төменгі үш күйі үшін нормаланған толқындық функциялар мынадай: , (4.84) (x)= , (4.85) Бұл толқындық функцияның графиктері 4.5-суретте көрсетілген. Бұл суреттен сызықтық осциллятордың толқындық функциясының түйіндерінің (нөлдерінің) саны n-ге тең екені көрініп тұр. Енді сызықтық осциллятор үшін вириал теоремасын дәлелделік. Классикалық механикадағы тәрізді, кванттық механикада да вириал теоремасы деп кинетикалық және потенциалдық энергияның орташа мәндерін байланыстыратын өрнекті айтады. Егер V(r) потенциалдық энергиясы координатаның n-інші дәрежесінәі біртекті функциясы болса, бұл байланыс мына түрде беріледі: = (4.87) Онда сызықтық осциллятор үшін (n=2) мына теңдік орындалуы тиіс: = (4.88) Жоғарыдағы (4.80),(4.82) және (4.83) өрнектерін пайдалана отырып, сызықтық осциллятордың толқындық функциялары үшін мынадай рекуренттік қатынастарды оңай алуға болады, = (4.90) Бұл өрнектерден сызықтық осциллятор үшін =0, =0 (4.91) eкендігі шығады. Одан әрі операторының эрмиттілік шартын пайдалана отырып, = . (4.92) Осы тәрізді = (4.93) Өрнегін аламыз. Сонымен = = = Яғни = = (4.94) Вириал теоремасы дәлелденді. Енді сызықтық осциллятордың нөлдік энергиясының физикалық мағынасы туралы мәселеге тоқталалық. Сызықтық осциллятордың ең аз энергиясының мәні –ге тең екені (4.72)өрнегінен көрініп тұр. Бұл нәтиже квантталған энергия үшін =nћω, n=0,1,2,… (4.95) өрнегін беретін Бордың жартылай кванттық теориясына және классикалық физиканың салдарына қарама-қайшы келеді. Кванттық механикада нөлдік энергияның болуы (4.96) aнықталмағандық қатынасыменн байланысты екенін көрсетуге болады. Сызықтық осциллятор үшін (4.91) өрнегін пайдалана отырып. Координат пен импульстың дисперсиясының орнегін мына түрде ықшамдап жазалық: = , = . (4.97) Шредингердің стационар теңдеуінен Ε= = + (4.98) Теңдігін аламыз. Бұл теңдікке (4.96), (4.97) өрнектерінен мәнін әкеліп қоя отырып, Ε + (4.99) Екенін аламыз. Бұл жерден -тың кез келген мәнінде энергиясы нөлге тең емес екендігі көрініп тұр. Сонымен осциллятордың ең аз энергиясының нөлден ерекшелігі анқталмағандық қатынасымен, яғни бөлшектің координатасы мен импульсын бір мезгілде өлшеуге болмайтындығымен байланысты. Энергияның ең аз мәнін табалық. Ол үшін (4.99)өрнегінің бойынша бірінші туындысын нөлге теңестіреміз. Осы табылған мәнін (4.99) өрнегіне апарып қоя отырып, екенін аламыз. Бұл Шредингер теңдеуінің дәл шешімінен алған мәнмен сәйкес келеді. Нөлдік энергияның бар екендігі алғаш рет тәжірибе жүзінде энергиясы бәсең рентген сәулелері кристалдан шашыраған кезде байқалған. Егер бәсең энергияда кристал тордың тербелісі болмаса, онда рентген сәулелері олармен әсерлеспес еді және ешқандай да шашырау болмас еді. Ал егер кинетикалық энергия нөлге ұмытылған кезде ең аз энергия нөлден ерекше болса, онда шашыраудың көлденең қимасы қандай да бір шекті мәнге ұмтылады. Тәжірибе нәтижелері нақ осылай болатынын көрсетті. §20. Кванттық күйлердің жұптылығы. Классикалық физикада кеңістіктің біртектілік және изотроптылық қасиеттері салдарынан жүйенің гамильтонианы трансляциялау және қандай да бір бұрышқа бұру әрекеттеріне қатысты инвариантты болып қалады да, одан жүйе импульсы мен импульс моментінің сақталу заңдары туындайтыны мәлім. Кванттық механикадағы қозғалыс интегралдары классикалық физикадағы осы сақталу заңдарының баламалары болып табылады. Сонымен қатар кванттық механикада классикалық баламасы жоқ тағы бір сақталу заңы бар. Ол жүйенің Гамильтон операторының инверсия әрекетіне қатысты инварианттылық қасиетімен байланысты. Координат жүйесін инверсиялау деп мынадай түрлендірулерді айтады: x→-x, y→-y, z→-z. (4.100) Сәйкес инверсия операторы мына түрде енгізіледі: Îᴪ(r)=ᴪ(-r). (4.101) Енді осы оператордың меншікті мәндерін табалық. Ол үшін меншікті мәндерді анықтайтын әдеттегі операторлық теңдеуді жазу қажет: Îᴪ(r)=І·ᴪ(r). (4.102) Бұдан әрі осы теңдеуге екінші қайтара инверсия операторымен әсер ете отырып, бірінші жолы Î(Îᴪ(r))=Î(Іᴪ(r))=І²ᴪ(r) өрнегін, ал екінші жолы Î(Îᴪ(x))=Îᴪ(-r)=ᴪ(r) өрнегін алуға болады. Бұл екі теңдіктен І²=1, яғни инверсия операторының меншікті мәндерінің І=±1 екені көрініп тұр. Инверсия операторының осы меншікті мәндері кванттық күйдің жұптылығы деп аталады. Егер жүйенің гамильтонианы инверсиялау операциясына қатысты инвариантты болса, яғни Ĥ(-r)=Ĥ(r) , (4.103) онда инверсия операторының Гамильтон операторымен коммутацияланатынын, яғни кванттық күйдің жұптылығының қозғалыс интегралы болатынын көрсетуге болады. Шындығында, Î[Ĥ(r)ᴪ(r)]=Ĥ(-r)ᴪ(-r)=Ĥ(r)ᴪ(-r)=Ĥ(r)Îᴪ(r) , яғни ÎĤ=ĤÎ Инверсия операторының ±1-ге тең екі әр түрлі меншікті мәндеріне, яғни әр түрлі жұптылығына сәйкес келетін меншікті функцияларды мынадай екі топқа бөледі: І=±1 болатын жұп функциялар - ᴪ(-r)=ᴪ(r); І=-1 болатын тақ функциялар - ᴪ(-r)=-ᴪ(r). Басқа сақталу заңдары тәрізді жұптылықтың сақталу заңы да кванттық күйдің өзгерісіне шектеулер жасайды. Егер жүйенің толқындық функциясы белгілі жұптылыққа ие болса, онда ол бұдан әрі тек осы жұптылығын сақтай отырып қана өзгереді. Жүйенің гамильтонианындағы кинетикалық энергияның операторы координаттың екінші ретті туындысы арқылы анықталатын болғандықтан, ол оператор инверсиялау кезінде өзгеріссіз қалады. Олай болса, жүйе гамильтонианының инварианттылығы оның потенциалдық энергиясының инварианттылығымен анықталады. Яғни V(r)=V(-r) теңдігі орындалуы тиіс. Үшөлшемді қозғалыс мысалдарында, әсіресе, орталық симмериялы өрістегі қозғалыс маңызды роль атқарады. Бұл жағдайда кванттық есепті сфералық координат жүйесінде қарастыру ыңғайлы. Сфералық координаттар инверсия кезінде былайша түрленеді: r→r, θ→π-θ, φ→φ+π. Орталық симметриялы өрістегі потенциалдық энергия бұрыштық айнымалыларға тәуелді болмағандықтан, ондай күй әрқашан белгілі бір анықталған жұптылыққа ие. Яғни, орталық симметриялық өрістегі жұптылық қозғалыс интегралы. §21 Микробөлшектердің потенциалдық тосқауыл арқылы өтуі Кванттық механиканың маңызды қарапайым есептерінің бірі - микробөлшектердің потенциалдық тосқауылдардан өтуі жайындағы есеп. Потенциалдық тосқауыл деп энергиясы өзін қоршаған нүктелердің потенциалдық энергиясынан артық болатын кеңістіктің аймағын айтады. Алғашқы мысал ретінде тікбұрышты, бірөлшемді, шексіз созылған потенциалдық тосқауылды қарастыралық. Мұндай тосқауыл үшін х 0 болса V(x)= 0, ал x> 0 болғанда V (x) = (4.6-суретті қараңыз). 4.6-сурет Енді толық энергиясының мәні Е-ге тең қандай да бір микробөлшек бірінші аймақта осы тосқауылға қарсы солдан оңға қарай қозғалып келеді делік. Алдымен осылай қойылған кванттық есептің сәйкес классикалық есептен өзгешелігін қарастыралық. Классикалық механикада егер бөлшектің толық энергиясы потенциалдық тосқауылдың биіктігінен аз, яғни E < Vo болса, онда мұндай бөлшек әрқашанда тосқауылдан өте алмай кері серпіледі. Ал егер E > Vо болса, классикалық бөлшек кинетикалық энергиясы кеми отырып, әрқашанда тосқауылдан кедергісіз өтеді. Осы есепті Шредингер теңдеуінің негізінде талдау кванттық механикада бұл екі түжырымның да дұрыс болмайтындығын көрсетті. Яғни бұл жерде керісінше E > Vo болғанның өзінде бөлшек потенциалдық тосқауылдан серпіле алады - бұл құбылыс тосқауыл үстінен серпілу деп аталады, ал E < Vo жағдайында бөлшектің тосқауылдан өтуінің ықтималдылығы нөлден ерекше болуы мүмкін - бұл туннельдік құбылыс деп аталады. Енді осы есепті талдауға кіріселік. Ол үшін бөлшектің бірінші аймақтағы қозғалысын сипаттайтын Шредингер теңдеуін жазалық Ол мынадай: (4.104) Мұндағы Ал екінші аймақ үшін Шредингер теңдеуі: (4.105) Мұндағы Бұл теңдеулердің жалпы шешімдері мына түрде болады. x 0, x > 0. Мұндағы және функциялары бірінші аймақта тосқауылға түскен және одан шағылған бөлшектердің қозғалысын сипаттайтын жазық толқындар болып табылады. Сол сияқты екінші аймақтағы және функцияларының мағыналары да осыған ұқсас. Ал - тұрақты шамалар. Бұған дейінгі белгілі (4.7) өрнегін пайдалана отырып, тосқауылға түскен бөлшектер ағынының тығыздығын мына түрде табамыз: Түскен бөлшектер ағынының тығыздығы тәжірибе жағдайымен анықталатын болғандықтан, оны әрқашанда = 1 болатындай етіп таңдап алудың мүмкіндігі бар. Онда =υ (4.106) Яғни жоғарыдағы нормалау шарты үшін, түскен бөлшектер ағынының тығыздығы сан мәні жағынан олардың салыстырмалы қозғалысының жылдамдығына тең екен. Бұл есепте E > және E < болатын екі түрлі жағдай болуы мүмкін. Екі жағдайда да (х) өрнегіндегі коэффициенттерін нөлге теңестіру қажет. Себебі E > болғанда толқындық функциясы шексіздіктен нөлге қарай қозғалып келе жатқан бөлшекті сипаттайды. Бірақ екінші аймақта шағылған толқын болмауы тиіс. Ал Е < болғанда х-жорамал шама, яғни k = іk'. Онда функциясы х шексіздікке ұмтылған кезде шексіз өсіп, толқындық функцияның шектілік шарты бұзылады. Ал олай болуы мүмкін емес. Сонымен, (4.107) Қалған коэффициенттерді анықтау үшін толқындық функциялардың және олардың бірінші ретті туындыларының х = 0 нүктесіндегі үздіксіздік шарттарын пайдаланамыз. Бұл шарттар мына теңдіктерді береді: 1+ (4.108) Бұдан , = (4.109) Алдымен E > Vo жағдайын қарастыралық. Бұл жерде x - заттық шама. Шағылған толқынның амплитудасы 0, яғни түскен толқынның біраз бөлігі потенциалдық тосқауылдан шағылады да, қалған бөлігі одан ары өтіп кетеді. Потенциалдық тосқауылды сипаттау үшін R шағылу және D өту коэффициенттері енгізіледі. Оларды сәйкес шағылған немесе өткен бөлшектер ағыны тығыздықтарының түскен бөлшектер ағынының тығыздықтарына қатынасымен анықтайды. Бөлшектер ағынының тығыздықтары үшін (4.7) өрнегін пайдалана отырып, шағылған және өткен бөлшектер үшін , (4.110) өрнектерін аламыз. Онда іздеп отырған коэффициенттер мына түрде анықталады: (4. 111) (4.112) Потенциалдық тосқауылға түскен бөлшектер ағыны одан шағылған және өткен бөлшектер ағындарының қосындысына тең болғандықтан, мынадай шарт орындалады: D + R = 1. (4. 113) Енді Е < Vo жагдайып қарастыралық. Жогарыда айтылғандай, бұл жердегі к - таза жорамал шама, яғни к = ік'. Мұндағы к'= (4.114) ал (4.115) яғни коэффициенті комплексті, ал шағылу коэффициенті (4.116) Онда өту коэффициенті D = 1 - R = 0, олай болса, шағылған ағын түскен ағынға тең, яғни потенциалдық тосқауылдан бөлшектер толығымен кері серпіледі. Комплекс сандардың тригонометриялық көрінісін пайдалана отырып, теңдігін оңай алуға болады. Мұндағы ρ = 1, ал φ= Сонымен шағылған бөлшектердің толқындық функциясы (4. 117) Яғни түскен толқынмен салыстырғанда шағылған толқынның фазасы қандай да бір шамаға ығысады екен. Энергияның мәні E < Vo болғанда, шағылу коэффициентінің 1-ге тең болуы классикалық физика тұрғысынан күткен нәтижеге толығымен сәйкес келеді. Бірақ, күтпеген нәрсе, потенциалдық тосқауылдан толық шағылу болғанымен, бөлшектің екінші аймақта болуының ықтималдылығының нөлден ерекше болуы. Шындығында, бұл аймақтағы толқындық функция нөлден ерекше (4.118) Бұл нәтиже шағылудың міндетті түрде аймақтардың дәл шекарасында болмайтындығын көрсетеді. Яғни кейбір бөлшектер екінші аймаққа өтіп барып, содан кейін ғана бірінші аймаққа кері оралады. Шындыгында, бөлшекті екінші аймақтан табудың ықтималдылығының тығыздығы ара қашықтыққа қатысты өте тез кемігенімен, бәрібір нөлден ерекше. Сонымен кванттық механикада энергиясы потенциалдық тосқауылдың биіктігінен аз бөлшектер оған өтіп кете алады. Бұл ерекше кванттық құбылысты туннельдік құбылыс деп атайды. Кванттық есептің классикалық шегінде, яғни ℏ 0 кезде, өту ықтималдылығы нөлге ұмтылады. Бөлшектің байқалу ықтималдылығы нөлден айтарлықтай ерекше болатын өтудің тиімді тереңдігінің шамасын анықталық. Ол мынадай: Бұл жерде Vo- E 1 эв , = 0.5 Мэв болатын атомға тән өлшемдер алынған. Сонымен электрондар үшін бүкіл құбылыс өлшемдері өте кіші аймақта байқалады да, ара қашықтық артқан кезде өтудің ықтималдылығы өте тез кеміп кетеді. 4.7-сурет Енді физикада кездесетін нақтылы құбылыстардың қарапайым моделі болып табылатын ені шектелген потенциалдық тосқауылды қарастыралық. Бұл кездегі потенциалдық энергияның мәндері мына шарттардан анықталсын: x және x > 0 болғанда V(x) = 0, ал 0 x a болганда V(x) = Vo (4.7-сурет). Потенциалдық тосқауылдың бұл түрі альфа-ыдырау, ядролардың бөлінуі, электрондардың металдардан салқын эмиссиясы тәрізді көптеген кванттық құбылыстарды қарастырған кезде пайда болатын шарттарды схемалық түрде бейнелейді. Бұл есепте Е < Vo жағдайын қарастыру қызық-ақ. Енді осымен айналысалық. Бөлшектің бірінші аймақтағы қозғалысы үшін Шредингер теңдеуі: (4.120) Әдеттегідей = 2mE/ оң шамасып енгізе отырып, бұл теңдеудің шешімін мына түрде жазуға болады: (4.121) Бұл шешім тосқауылға түскен толқынның алдындағы нормалаушы коэффициенті бірге тең болатындай етіп таңдап алынған. Сәйкес екінші аймақтағы Шредингер теңдеуі мынадай: (4.122) Бұл жерде = 2m (Vo - E) / оң шамасы енгізілген. Бұл теңдеудің жалпы шешімі: (4. 123) Ал үшінші аймақтағы Шредингер теңдеуі түрі жағынан бірінші аймақ үшін жазылған теңдеумен сәйкес келеді: Оның жалпы шешімі: (4.124) (4. 125) Бұл аймақта шағылған толқын жоқ болғандықтан, шешімдегі коэффициентін нөлге теңестіру қажет, онда (4.126) Сонымен барлық аймақтардағы шешімдер белгілі. Енді бұдан әрі осы потенциалдық тосқауылдан өту коэффициентін табу қажет. Тосқауылға түскен ағынның жоғарыдағы таңдалған нормалау шартында өту коэффициенті мына өрнекпен анықталады: = Яғни өту коэффициентін анықтау үшін алдымен осының мәнін табу қажет. Жоғарыдағы (4.121), (4.123), (4.125) шешімдеріндегі белгісіз коэффициенттер осы функциялардың және олардың бірінші туындыларының аймақтардың шекараларындағы, яғни х = 0 және х = а нүктелеріндегі үздіксіздік шарттарынан анықталады. Бұл үздіксіздік шарттары мына теңдеулер жүйесін береді: , , (4.127) , . Бұл теңдеулер жүйесіндегі үшінші және төртінші теңдеулерден және коэффициенттерін C арқылы өрнектесе, , . (4.128) Алғашқы екі теңдеуден коэффициентін шығарып тастай отырып, мен -ні мына түрде байланыстыруға болады: . Бұл өрнекке (4.128)-ден мен -ның мәндерін әкеліп қоя отырып, іздеп отырған коэффициентті мына түрде анықтайды: . Бұдан әрі , Өрнектері арқылы анықталған гиперболалаық синус және косинус функцияларын енгізе отырып, іздеп отырған өту коэффициенттерін мына т.рде жазудың мүмкіндігі бар: (4.129) Бұл өрнектен кванттық есепте классикалық шекке өткен кезде, яғни шартында D коэффициентінің нөлге ұмтылатынын көруге болады. Қолданыс үшін маңызы бар нақтылы жағдайда, әдетте, шарты орындалады. Онда өту коэффициентінің өрнегін мына тұрде ықшамдауға болады: . Экспонентаның алдындағы көбейткіші деп белгілеп алып, . (4.130) өрнегін аламыз. Нақтылы есептеулерге осы өрнек кеңінен қолданылады. Егер болса, тосқауыл арқылы өтудін ықтималдылығы елерліктей. Мысал ретәнде бқл өрнекке ядроның өлшемдерімен шамалас см, , мәндерін қойсақ, онда екенін аламыз. Ал , яғни микробөлшек елерліктей ықтималдылықпен потенциалдық тосқауылдан өте алады. Егер тура осындай потенциалдық тосқауыл және тура осындай бөлшек үшін см деп алсақ, мүлдем басқа нәтижеге келеміз. Бұлай болғанда, , яғни макроскопиялық өлшемдерде туннельдік өту құбылысы атымен жоқ. Бүгінгі күннің физикасына виртуальды үрдіс, виртуальды деңгей (күй), виртуальды бөлшек ұғымдары толығымен енді. Бұл ұғымдар кванттық теорияла әу бастан-ақ қалыптасқан болатын. Олардың пайда болуы «өзара әсерлесіп жатқан бөлшектер қандай да бір өрістің көзі болып тасбылады және ол өріс кванттары осы әсерлесулерді тасымалдайды» деген идеямен тығыз байланысты болатын. Бөлшектер өзара әсерлескен кезде осы әсерлесу өрісінің виртуальды кванттарымен алмасады: мысалы, электрондар өзара виртуальды фотондармен алмаса отырып әсерлеседі, ал нуклондар әсерлескен кезде виртуальды мезондармен алмасады. Мұның айқын мысалы-қозғалып келе жатқан фотоннан виртуальды электрон-позитрон жұбының пайда болуы (4.8-сурет). Егер ұшып келе жатқан фотонның энергиясы жеткілікті болса, онда бұл виртуальды процесс нақтылы процесске айналып, электрон-позитрон жұбы пайда болуы мүмкін (4.9-суретті қараңыз). Бұл үрдістер кванттық электродинамикада кеңінен қарастырылады. Енді осы виртуальды күй ұғымының біз қарастырып отырған есептің кейбір сұрақтарына қалай түсінік беретінін көрсетелік. Жоғарыда көрсетілгендей бірінші, екінші және үшінші аймақтардағы толқындық функцияларға сәйкес (4.121), (4.123) және (4.125) өрнектерімен анықталады. Потенциалдық тосқауылға түскен толқынның біраз бөлігі тосқауыл шекарасынан кері серпіледі де, қалған бөлігі екінші аймақта біраз өше тұрып, үшінші аймаққа өтеді. Өткен толқыннаң жиіліг тура түскен толқынның жиілігіндей, ал амплитудасы біраз кеміген күйде болады. (4.10 суретті қараңыз) Бұл жерде мынадай бір қызық мәселену атап өткен жөн. Аталған толқындық функциялардың көмегімен бірінші және үшінші аймақтардағы j1 және j3 ағын тығыздықтарын есептеу олардың нөлден ерекше, ал екінші аймақтағы толқындық функциянның заттық болуымен байланысты бұл жердегі есептеу j2=0 екендігін көрсетеді. Яғни бөлшек екенші аймаққа соқпай бірінші аймақтан үшінші аймаққа секіріп өткен тәрізді. Ал шындығында екінші аймақта бөлшек виртуальды күйде болады есептесек, бұл жерде таң қалатын ешнәрсе жоқ. Онда қарастырып отырған потенциалдық тосқауыл арқылы өту құбылысының шындығындада жүзеге асатындығы және бұл кезде физиканың ілгері заңдарының бұзылмайтындығы анықталмағандық қатынасы арқылы түсіндіріледі. Бөлшек импульсінің екенші аймақтағы анықталмағандығы өз кезегіндегі кинетикалық энергияның мынадай анықталмағандығына алып келеді. Бұл энергия бөлшектің потенциалдық тосқауылдың биіктігіне жетпей тұрған энергиясынан артық болу мүмкін яғни, -E Міне, сондықтан бұл құбылыс кезінде энергияның сақталу заңы бұзылмайды. Тікбұрышты тосқауыл үшін алынған жоғарыдағы нәтижелерді кез келген, формасы жайлап өзгеретін тосқауылдар үшін оңай жалпылауға болады. Бұл кезде берілген тосқауылды, 4.11-суретте көрсетілгендей, көптеген тікбұрышты тосқауылдыңдардың тізбегі ретінде қарастыруға болады. Бірінші тосқауыл арқылы өткен бөлшек саны келесі тосқауылға түскен бөлшек саны болып табылады, т.с.с. Онда өту коэффициентін мына түрде жазуға болады. Бұдан әрі , , … , , Екенін ескерсек, онда D=D1*D2*…Dn. Сонымен, кез келген формадағы тосқауыл арқылы өту коэффициентін жуық шамамен тікбұрышты тосқауылдан өту коэфициенттерінің көбейтіндісі түрінде жазуға болады екен. Егер әрбір жеке коэфициенттерге (4.130) түріндегі өрнектерді пайдалансақ, онда қосынды коэфициентте экспонентаның көрсеткішін қосындылау керек. Әрбір тосқауылдың енін шексіз аз етіп ала отырып, шегінде экспрнента көрсеткішін интегралға алмастырамыз, демек (4.131) Мұндағы х1 және х2 нүктелері Е=V(x1)=V(x2) теңдігінен анықталадыү Егер металдарды кернеулігінің шамасы в/см болатын күшті сыртқы электр өрісіне орналастырса, онда бұл өрістің әсерінен металдардан элетрондар ұшып шыға бастайды. Бұл құбылсты элетрондардың салқын эмиссиясы деп атайды. Бұл құбылысты түсіндіру үшін металдардыға электрондарды тереңдігі V0-ға тең потенциалдық шұңқырдағы энергиясы -ға тең бөлшектер деп қарастыру керек. Сыртқы өріс жоқ кезде металдың ішінде , ал сыртында . (4.12-сурет) Классикалық физика тұрғысынан салқын эмиссия құбылысы түсініксіз. Себебі- электр өрісі металлдың ішіне кірмейді, ол металдың маңындағы потенциалдық өрісті ғана өзгертеді. Сондықтан потенциалдық тосқауыл рқылы бөлшектер өте алмауы тиіс еді. Электр өрісі потенциалдық тосқауылдың биіктігін кемітеді де, оның мәні металдағы электрондардың энергиясынан аз болып қалады деп жорамалдауға болады, бірақ жүргізілген нақтылы есептеулер мұның негізсіз екенін көрсетті. Құбылыстың кванттық түсіндірілуі мынадай. Егер металды кернеулігі Е болатын сыртқы электр өрісіне орналастырсақ, онда шамасы V0-ға тең шұңқырдың тереңдігіне мәні- еЕх-ға тең болатын сыртқы өрістегі электронның потенциалдық энергиясы қосылады да, металдан тысқары аймақтағы толық потенциалдық энергияның мәні былай анықталады: . (4.132) Бұл жағдайда электрондар үшін түрі, 4.13-суретте көрсетілгендей, үшбұрышты болатын потенциалдық тосқауылдан вакуумға өтіп кетудің мүмкіндігі туады. Электронның толық энергиясы Е делік. Қарастырып отырған есеп жағдайына сәйкес келеді. Өту коэффициенті: (4.131) шартынан интегралдың жоғарғы шегін анықтап, D-ның мәнінің мынаған тең екеніне оңай көз жеткізуге болады: , мұндағы Өту коэффициентіне пропорционал эмиссия тогының элетр өрісі кернеулігіне тәуелділігі мынадай: (4.132) Тәжірибеден де дәл осындай тәуелділік байқалады. жүктеу/скачать 1,76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|