§1 Классикалық теориялық физика
ШРЕДИНГЕР ТЕҢДЕУІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАРАПАЙЫМ ҚОЛДАНЫЛУЛАРЫ
жүктеу/скачать 1,76 Mb.
|
Кванттық механика (лекция)
- Бұл бет үшін навигация:
- §15 Шредингердің уақытқа тәуелді теңдеуі
| ШРЕДИНГЕР ТЕҢДЕУІ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚАРАПАЙЫМ ҚОЛДАНЫЛУЛАРЫ
Бұл тарауда релятивтік емес кванттық теорияның негізгі теңдеуі болып табылатын Шредингердің толқындық теңдеуі енгізіліп, оның негізінде кванттық механиканың кейбір есептерін қалай шешуге болатындығы көрсетіледі. Нақтылы мысалдар ретінде әсерлесудің қарапайым модельдері потенциалдардағы бөлшектердің қасиеттері зерттеліп, сонымен қатар мәселе қаралады. Бұл талдаулардың барысында, әсіресе, қарастырылып отырған кванттық есептің сәйкес классикалық есептен өзгешелігіне баса назар аударылады. §15 Шредингердің уақытқа тәуелді теңдеуі Берілген кванттық жүйенің күйін оның Ψ (Ę,t) толқындық функциясы сипаттайды. Мұндай сипаттау толық болып табылады. Бұл шарт жүйенің толқындық функциясы белгілі болса, онда ол жүйе туралы кванттық механика тұрғысынан мүмкін болатын барлық мағұлматтарды алуға болатындығын көрсетеді. Ал толқындық функцияны біле отырып, тәжірибеде өлшенетін физикалық шамалардың мәндерін есептеудің жолдары жөнінде өткен тарауда баяндалды. Ендігі басты мәселе берілген жүйе үшін осы толқындық функцияның өзін анықтау. Кванттық жүйенің күйі жалпы жағдайда уақыттың өтуімен байланысты өзгереді. Дегенмен де, бұл өзгеру еркін емес, ол қандай да бір математикалық теңдеулермен сипатталатын заңдылықтардың ауқымында ғана болуы мүмкін. Олай болса, жүйенің уақыттан тәуелді толқындық функциясы осы математикалық теңдеудің шешімі түрінде анықталуы тиіс. Бірақ бұл теңдеуді қандайда бір дедукциялық топшылаулардың негізінде қорытып шығарудың мүмкіндігі жоқ. Оның түрі кванттыұ механиканың жалпы принциптеріне қайшы келмейтіндей етіп постулат ретінде алынады. Ал оның дұрыстығының бірден-бір дәлелі-одан туындайтын салдарлардың тәжірибе нәтижелеріне дәл келуі. Бұл теңдеуге қойылатын жалпы талаптар мыналар: Теңдеудің шешімі болып табылатын толқындық функцияның берілген уақыт мезетіндегі мәні кванттық жүйенің тек осы сәттегі күйін ғана сипаттап қоймай, сонымен қатар оның алдағы өзгерісін де анықтауға мүмкіндік беретін болғандықтан, бұл теңдеуде оның уақыт бойынша өзгерісі сол Ψ функциясының өзі арқылы анықталуы тиіс; Теңдеудің шешімі болып табылатын толқындық функция суперпозиция принципін қанағаттандыруы үшін бұл теңдеу біртекті, әрі сызықтық болуы шарт; Бұл теңдеу сәйкестік принципін қанағаттандырып, өзінің классикалық шегінде толқындық пакеттің қозғалысын сипаттайтын классикалық теңдеуге өтуі тиіс. Осы талаптарға сай келетін теңдеудің жалпы түрі мынандай: Ψ (4.1) Мұндағы Ĥ -жүйенің Гамильтоп операторы (гамильтонианы). Егер Ĥ уақыттан тәуелді болмаса, онда ол жүйенің толық энергиясының операторымен дәл келеді. Бұл оператордың нақтылы түрі қарастырып отырған жүйенің қасиеттерімен анықталады. Мәселен, V( ) потенциалдық өрісінде қозғалып жүрген массасы m-ға тең бөлщек үшін ол мынандай: (4.2) Австрия ғалымы Э.Шредингер ұсынған жоғарыдағы (4.1) өрнегі толқындық немесе Шредингер теңдеуі деп аталады. Классикалық механикадағы ең кіші әсер принципі (немесе Ньютон заңдары), электродинамикадағы Максвелл теңдеулері тәрізді кванттық механикадағы Шредингер теңдеуі де физиканың іргелі теңдеулерінің қатарына жатады. Релятивтік емес кванттық механиканың негізгі есебі осы теңдеуді шешуге келіп тіреледі. Бұл теңдеудің шешімі болатын толқындық функцияға бірмәнділік, үздіксіздік және шектілік шарттары қойылады. Бұл талаптар толқындық функцияның физикалық мағынасынан шығады. Потенциалдық энергия координатқа тәуелді болғандықтан, Шредингер теңдеуі - коэффициенттері айнымалы екінші ретті сызыктық дифференциалдық теңдеу. Барлык сызықты теңдеулердегі тәрізді оның шешімдерінің қосындысы да өз кезегінде сол тендеудің шешімі болады, яғни олар үшін суперпозиция принципі орындалады. Өзінің түрі жағынан Шредингер теңдеуі математикалық физиканың дербес туындылы дифференциалдык тендеулері болып табылатын жылуөткізгіштіктің немесе диффузияның теңдеулеріне ұқсас. Бірақ Шредингер теңдеуінде жорамал бірліктің болуы олармен салыстырғанда мынадай өзгешеліктерге алып келеді: а) теңдеудің шешімі болып табылатын толқындық функция жалпы жағдайда комплексті функция болады, б) тендеудің уақыт бойынша периодты шешімі болуы мүмкін. Шредингер теңдеуінің шешімі осы (4.1) теңдеуінің өзімен қатар, электродинамика немесе тұтас орта механикасындағы үздіксіздік теңдеуіне ұксас, басқа бір теңдеуді де қанағаттандыратындығына оңай көз жеткізуге болады. Оны дәлелдеп көрсету үшін Шредингер теңдеуін және оған комплексті-түйіндес теңдеуді жазалық: iħ = (4.3) - = (4.4) Бул теңдеулерді сол жағынан алғашқысын ᴪ*( ,t), ал екіншісін ᴪ( ,t), функцияларына көбейтіп, бірінші теңдеуден екінші теңдеуді мүшелеп алып тасталық. Нәтижесінде iħ (4.5) өрнегін аламыз. Бұдан әрі мынадай (4.6) (4.7) (4.7) шамаларды енгізе отырып, (4.5) өрнегін төмендегідей үздіксіздік теңдеуі түрінде жазуға болады: (4.8) мұндағы ρ - ықтималдықтың тыгыздыгы. Ал мұндағы шамасы ықтималдық тығыздығының өзгеру жылдамдығын беретін болғандыктан, бұл теңдеудегі j векторын ықтималдылық ағынының тығыздығы деп атау орынды. Бұл теңдеу өзінің түрі жағынан классикалык физикадағы үздіксіздік теңдеуіне ұқсас. Сондықтан оны кванттық механикадағы үздіксіздік теңдеуі деп атайды. Ол кванттық механикадағы бөлшектер санының сақталу заңын береді. Жоғарыдагы Шредингер теңдеуі релятивтік емес кез келген кванттық жүйені сипаттайды. Мұндай жүйелердің касиеттері сан алуан. Ал әрбір нақтылы жүйенің ерекшелігі бұл теңдеуде бөлшектердің әсерлесуінің потенциалдык энергиясы арқылы ескеріледі. Жалпы жағдайда, бөлшектердің әсерлесу сипаты айтарлықтай күрделі. Бұл жағдай, әрине, сәйкес теңдеуді математикалық тұрғыдан шешуді қиындатады. Сондықтан оларды потенциалдык энергияның түріне қарата белгілі бір топтарға бөліп, жүйелеп зерттеген ынғайлы. Осыған байланысты кванттық механика есептерінің мынадай түрлері карастырылады: Еркін қозғалыс жағдайы. Бұл кезде потенциалдык энергия бүкіл кеңістік бойынша нөлге тең, ягни V = 0. Стационар күй жағдайы. Бұл кезде потенциалдык энергия уакытқа тікелей тәуелді емес, яғни V = V . Орталық симметриялы өріс жағдайы. Бұл кезде потенциалдық энергия радиус-вектордың бағытына тәуелді болмай, тек модуліне ғана тәуелді болады, яғни V = =V (r). Бұдан арғы баяндауларда осы дербес жагдайлардың ерекшеліктері егжей-тегжейлі қарастырылатын болады. 2-мысал. Цезийдің бетін толқын ұзындығы λ=400нм күлгін жарықпен сәулелендіргенде болатын фотоэффектінің қызыл шекарасын анықтау керек. Фотоэлектрондардың максимал жылдамдығы 0,65 Мм/с. §16 Стационар күй Стационар күй жағдайында бөлшектердің әсерлесуінің потенциалдық энергиясы уақытқа тәуелді емес. Осыған байланысты жүйенің гамильтоннианы да уақытқа тікелей тәуелді болмайды. Бұл жағдай Шредингер теңдеуінің шешімін координат пен уақыт айнымалылары ажыратылған мынадай екі функция көбейтіндісі түрінде іздестіруге мүмкіндік береді. Осы функцияны (4.1) теңдеуіне апарып қойса, (4.9) өрнегі шығады. Бұл теңдеудің сол жағы тек уақытқа, ал оң жағы тек жалпыланған координатқа ғана тәуелді. Әр түрлі аргументке тәуелді екі функция сол аргументтердің кез келген мәнінде бір-біріне тең болуы үшін олар қандай да бір тұрақты шамаға тең болуы шарт. Бұл шаманы Е әрпімен белгілей отырып, жоғарыдағы (4.9) теңдеуін мынадай екі теңдеуге ажыратып жазуға болады: (4.10) (4.11) Екінші теңдеу стационарлық күй жағдайында толық энергия операторымен сәйкес келетін Гамильтон операторының меншікті мәндерін анықтайды. Сондықтан бұл теңдеулердегі Е тұрақтысының физикалық мағынасы-жүйенің толық энергиясы. Яғни: (4.12) Бұл теңдеу Шредингердің стационар теңдеуі деп аталады. Мұндағы функциясы жүйенің энергиялары нақтылы мәнге ие бола алатын күйлерін анықтайды. Бұл күйлер стационар күйлер деп аталады. Осы теңдеуге Гамильтон операторының өрнегін қойғаннан кейін стационар күй теңдеуін мына түрде жазуға болады: (4.13) Ал (4.10) теңдеуінде айнымалылар ажыратылып тұрғандықтан, ол оңай интегралданады. Оның шешімі мынадай: (4.14) Онда стационар күй үшін (4.1) теңдеуінің жалпы шешімі мына түрде жазылады: Суперпозиция принципін ескере отырып, операторының меншікті мәндері дискретті спектр құраған жағдайда Шредингер теңдеуінің жалпы шешімін мына түрде жазуға болады: Ал H - операторының меншікті мәндерінің спектрі үздіксіз болған жағдайда шешім былайша жазылады: Сонымен, стационар күй жағдайында жүйенің толқындық функциясын табу жөніндегі мәселе Шредингердің стационар теңдеуін шешуге келіп тіреледі екен. Ал толқындық функцияның уақытқа тәуелділігі барлық стационар күйлер үшін бірдей. Стационар күйдің мынадай негізгі қасиеттерін атап өткен жөн: Толқындық функцияның уақытқа тәуелділігі (4.15) өрнегіне сәйкес жүйенің толық энергиясы арқылы бірмәнді анықталады. Операторлары уақытқа тікелей тәуелді емес физикалық шамалардың ораташа мәндері уақыт бойынша өзгермейді, яғни Стационар күйде қандай да бір физикалық шаманың анықталған мәнін алудың ықтималдығы уақытқа тәуелді болмайды. Шындығында операторына сәйкес келетін шамасын жүйенің қандай да бір функциясымен сипатталатын күйінде алудың ықтималдығы осы функцияны берілген оператордың меншікті функциялары арқылы жіктеу коэффициенттері модулінің квадраттары арқылы былайша анықталады: Ал ол тұрақты шама. жүктеу/скачать 1,76 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|